Ministero dell'istruzione e del merito

A002 - ESAME DI STATO CONCLUSIVO DEL SECONDO CICLO DI ISTRUZIONE
Testo valevole per tutti i seguenti indirizzi:
LI02, LI03, LI15, LI1S, LI22, LI23, LI31, LI32, LIA2, LIAO,
LIB2, LIC2, LID2, LII2, LII3, LII4, LIIS, LIS2, EA02, EA10
Disciplina: MATEMATICA

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 4 quesiti del questionario.


PROBLEMA 1


 

Si consideri Eqn001.gif, con Eqn002.gif.

a) Determinare i valori dei parametri in modo che la retta t, di equazione Eqn003.gif, sia tangente al grafico di Eqn004.gif nel suo punto P di ascissa Eqn005.gif.

Si ponga, d'ora in avanti, a=1 e b=4.

b) Studiare la funzione Eqn006.gif e tracciarne il grafico γ. Scrivere l'equazione dell'ulteriore retta tangente alla curva γ passante per P.

c) Al variare del parametro reale m, determinare il numero di intersezioni tra la retta di equazione Eqn007.gif e la curva γ.

d) Sia Eqn008.gif, con Eqn009.gif, l'area della regione finita di piano compresa tra la curva γ, il suo asintoto obliquo, la retta t e la retta di equazione Eqn010.gif. Calcolare il Eqn011.gif, fornendo un'interpretazione geometrica del risultato ottenuto.

svolgimento

 


PROBLEMA 2


«All'inizio e alla fine, abbiamo il mistero. [...] A questo mistero la matematica ci avvicina, pur senza penetrarlo». (E. De Giorgi).

Si consideri la famiglia di funzioni Eqn012.gif, con Eqn013.gif e Eqn014.gif.

a)
Verificare che, qualunque sia il valore di n, la funzione fn non è derivabile nel punto di ascissa x=0.
Determinare il valore di n in corrispondenza del quale il grafico di fn presenta un punto angoloso.
Per opportuni valori dei parametri a, b, il grafico α, in figura, rappresenta la funzione Eqn015.gif.
Determinare i parametri a e b, considerando che f2 è definita in [-1;1] e che il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

figura01.png

Si ponga, d'ora in avanti, a=-1, b=0.

b)
Studiare la funzione Eqn016.gif, verificando che non è derivabile negli estremi del dominio e nel punto di ascissa x=0.
Indicare con β il suo grafico e tracciare la curva Eqn017.gif.

c)
La retta r, di equazione x=k, con -1<x<1, interseca γ nei punti P e Q.
Dimostrare che la misura del segmento PQ è massima quando r è asse di simmetria di γ.

d)
Verificare che la funzione Eqn018.gif è una primitiva della funzione Eqn019.gif.
Con il metodo che si ritiene più opportuno, calcolare l'area della regione finita di piano delimitata da γ.

«Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle: le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale: al mondo non c'è posto perenne per la matematica brutta» (G. H. Hardy)

svolgimento

 


QUESITI


 

  1. È dato un triangolo abc, rettangolo in B. Dimostrare che tale triangolo è isoscele se e solo se l'altezza BH relativa all'ipotenusa è congruente a metà ipotenusa.

    svolgimento

  2. Si lancia 5 volte una moneta truccata che dà testa con probabilità p.
    - Qual è la probabilità di ottenere testa esattamente 2 volte?
    - Per quale valore di p la probabilità di ottenere testa esattamente 2 volte è massima?

    svolgimento

  3. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, è dato il piano Eqn020.gif.
    - Determinare le coordinate del punto H, proiezione ortogonale di P(4,2,1) sul piano π;
    - Determinare l'intersezione della retta Eqn021.gif con il piano π.

    svolgimento

  4. Dimostrare che l'equazione Eqn022.gif ammette un'unica soluzione positiva.

    svolgimento

  5. Determinare la funzione polinomiale di quarto grado y=p(x) sapendo che, in un sistema di riferimento cartesiano, il suo grafico verifica le seguenti condizioni:
    - è tangente all'asse x nell'origine;
    - passa per il punto (1,0);
    - ha un punto stazionario in (2,-2).

    svolgimento

  6. Si consideri la funzione integrale
    Eqn023.gif
    con x≥a, in cui a indica un parametro reale positivo. Determinare il più grande valore di a in modo che Eqn024.gif.

    svolgimento

  7. Il prossimo 5 luglio la terra raggiungerà l'afelio, il punto della propria orbita in cui è massima la distanza dal Sole, pari a circa 1,52·1011 m.
    Il perielio è invece il punto che si trova alla minima distanza dal Sole, pari a circa 1,47·1011 m.
    Determinare, in un opportuno sistema di riferimento, l'equazione che rappresenta la traiettoria della Terra intorno al Sole.

    svolgimento

  8. Scrive Carlo Emilio Gadda in uno dei racconti de L'Adalgisa - Disegni milanesi: «Le stanze del servizio, il bagno, i corridoi, l'anticamera e l'uno de' due gabinetti, eran pavimentati con piastrelle rosse di piccolo formato: esagonali [...]. L'apotèma di quelle mattonelle misurava centimetri 5,196: mentreché il raggio del circolo circoscritto raggiungeva i 60 millimetri».
    Esprimere la relazione esatta tra raggio del cerchio circoscritto ed apotema (ossia il raggio del cerchio inscritto) per un esagono regolare. Verificare il risultato ottenuto alla luce delle misure indicate dallo scrittore. Spiegare perché, utilizzando piastrelle esagonali regolari tutte congruenti, è possibile pavimentare un piano. Con quali altri poligoni regolari, tra loro congruenti, è possibile pavimentare un piano?
    Motivare la risposta.

    svolgimento


Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito l'uso di calcolatrici scientifiche o grafiche purché non siano dotate della capacità di elaborazione simbolica algebrica e non abbiano la disponibilità di connessione a Internet.
È consentito l'uso del dizionario bilingue (italiano-lingua del paese di provenienza) per i candidati di madrelingua non italiana. Non è consentito lasciare l'Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla consegna della traccia.