10. La funzione ζ (zeta)


English version


Nelle sezioni precedenti si è visto che, data una funzione reale di variabile reale f(x), se la funzione è derivabile infinite volte ed esiste il limite della funzione e delle sue derivate per x→0, è possibile individuare una serie S(x) convergente a f(x) per ogni x. Si può assumere viceversa che una serie S(x) convergente per ogni x sia sufficiente a definire una funzione f(x). Questo è il modo in cui L. Euler studiò inizialmente la somma delle potenze con esponente naturale n dei reciproci dei numeri naturali. Dopo di lui, B. Riemann estese il dominio di questa funzione anche alle potenze ad esponente complesso z con parte reale >1, per cui oggi questa funzione è nota come funzione ζ di Riemann. Successivamente la funzione è stata ridefinita in modo da estendere il suo dominio a tutto il piano complesso. In questa sede comunque ci si interessa solo di esponenti reali.

La funzione ζ (zeta) di Riemann è definita come

Eqn11.gif

Limitando lo studio al caso di esponenti naturali ζ(n), se n=1, la (10.1) è la serie armonica, che non converge e, conseguentemente non converge per n<1.

I valori di ζ(n), se n è un numero naturale pari, possono essere dedotti esattamente. Un metodo può essere il seguente.

Si osserva che valori di ζ per n naturale pari calcolati e i successivi che si potrebbero ottenere con lo stesso metodo possono essere ottenuti in funzione dei numeri di Bernoulli:

Eqn1.gif

Se si assume la (10.2) come definizione della funzione ζ per argomenti naturali, si può ottenere un valore anche per n=0, caso in cui la definizione (10.1) diverge. Si ha

Eqn2.gif

Il dominio di convergenza di ζ può essere ulteriormente esteso. Si può infatti dimostrare che per numeri naturali n≥2,

Eqn3.gif

quindi

Eqn4.gif

I numeri di Bernoulli con indice dispari ≥ 3 sono tutti 0, quindi i valori di ζ per argomenti interi negativi pari sono tutti 0.

Tabella di alcuni valori di ζ(n) generata da WolframAlpha

Per argomenti reali, i valori di ζ possono essere approssimati numericamente (P. Borwein in "An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function").

La seguente applicazione Javascript permette di approssimare i valori di Z per argomenti reali. Se il vostro browser non ammette il tag iframe potete aprire la pagina sorgente.