10. Le funzioni come vettori.

Gli elementi di qualunque insieme su cui si possa operare in modo analogo a quello in cui si opera sulle ennuple di numeri reali possono essere essere a tutti gli effetti considerati vettori.

Questa affermazione può essere verificata in particolare per insiemi di funzioni di forma assegnata.

Si consideri, ad esempio, l'insieme Σ2 delle funzioni di forma Eqn1001.gif con a e b numeri reali qualsiasi e definite per x ∈ [-π ; π]. Per semplicità di notazione, queste funzioni saranno in seguito indicate con σ2(a,b).

Due qualunque funzioni di Σ2 si possono si possono sommare con gli usuali metodi dell'algebra ottenendo una funzione di Σ2, quindi la somma è interna. La somma è associativa e commutativa. La funzione nulla è ovviamente σ2(0,0) e per ogni σ2(a,b) esiste in Σ2 l'opposta σ2(-a,-b). Dunque Σ2 con l'operazione di somma è un gruppo commutativo.

Le σ possono essere moltiplicate per un reale k ottenendo sempre una funzione di Σ2.

In generale si può osservare che, date due funzioni σ2(a,b) e σ2(c,d)

Eqn1005.gif

Per il calcolo di questo e di altri integrali può essere utile The Wolfram Integrator

Il valore di questo integrale coincide a meno del fattore costante π con quello del prodotto scalare tra i vettori reali piani (a,b) e (c,d). Appare quindi sensato definire in generale come prodotto scalare di σ2(a,b) per σ2(c,d), denotandolo con 2(a,b)|σ2(c,d)>, l'integrale

Eqn1006.gif

Questa definizione di prodotto scalare permette a sua volta di definire la norma ||σ2(a,b)|| delle funzioni σ2(a,b), analoga al modulo di un vettore reale

Eqn1002.gif

Si può quindi dire che l'insieme Σ2, come l'insieme dei vettori reali piani, è uno spazio vettoriale normato e i suoi elementi σ2(a,b) possono essere detti vettori.

Un operatore lineare L su questo spazio vettoriale deve essere tale da far corrispondere in modo univoco ad ogni vettore un vettore dello stesso spazio e godere delle stesse proprietà di cui godono le matrici reali quadrate rispetto ai vettori reali piani evidenziate nel paragrafo 2, cioè

Eqn007.gif

La derivata seconda delle funzioni di Σ2 rispetto alla variabile x ha tutte queste proprietà: infatti la derivata di una somma di funzioni è la somma delle derivate delle singole funzioni e la derivata del prodotto di una funzione per un numero reale k è uguale al prodotto di k per la derivata della funzione. Inoltre

Eqn1007.gif

L'operatore di doppia derivazione è quindi un operatore lineare sullo spazio vettoriale Σ2. Per l'individuazione dei suoi autovalori e dei suoi autovettori (che in questo caso sono le sue autofunzioni) bisogna risolvere l'equazione

Eqn1008.gif

cioè

Eqn1009.gif

Questa equazione può essere soddisfatta solo se

Eqn1010.gif

Dunque gli autovalori dell'operatore considerato sono λ1=-1 e λ2=-4 e le corrispondenti autofunzioni sono σ1=a sinx e σ2=b sin2x.

Come si è osservato nel paragrafo precedente, gli autovalori risultano determinati a meno di una costante moltiplicativa. Può essere utile 'normalizzarli' assumendo a e b positivi e dividendoli per la loro norma. Si ottiene

Eqn1011.gif

σ2,1 e σ2,2 costituiscono una base ortonormale dello spazio vettoriale considerato: ognuno di essi ha norma 1 e il loro prodotto scalare è nullo. Tutti i vettori dello spazio vettoriale Σ2 si ottengono da combinazioni lineari di questi due vettori allo stesso modo in cui tutti i vettori piani reali possono essere ottenuti come combinazioni lineari dei vettori (1,0) e (0,1).

Considerando l'insieme Γ2 delle funzioni di forma Eqn1012.gif definite sull'intervallo reale [-π ; π] si giunge a conclusioni del tutto analoghe.

L'analogia permane anche per l'insieme Φ2 delle funzioni di tipo Eqn1013.gif per le quali si ha Eqn1014.gif. Anche in questo caso l'integrale genera un valore che, a meno del fattore costante π, corrisponde al prodotto scalare dei due quadrivettori (a,b,c,d) e (h,k,l,m).

Per induzione si può concludere che Φn, cioè l'insieme delle funzioni di tipo Eqn1015.gif, è uno spazio vettoriale normato, con norma definita da Eqn1016.gif.

In particolare, per ogni coppia di funzioni Eqn1017.gif si ha Eqn1018.gif

Quindi l'unione degli insiemi delle funzioni Eqn1019.gif costituisce una base ortonormale dello spazio vettoriale Φn e ogni funzione di Φn può essere espressa nel seguente modo

Eqn1020.gif

In definitiva, ponendo

Eqn1021.gif

si ha

Eqn1022.gif