Integrali gaussiani

(a cura di Roberto Bigoni)

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Gli integrali del tipo

che si incontrano nella teoria della probabilità e nella teoria cinetica dei gas ideali, considerati come funzioni di a, sono caratterizzati dalla seguente proprietà

cioè

Quindi, una volta calcolati I_o(a) e I₁(a), i successivi si ottengono facilmente.

• Il calcolo di I₁ è abbastanza agevole.
  Si verifica facilmente che in questo caso la funzione integranda

  

  è la derivata rispetto a x di

  

  quindi

  

• Il valore di I_o, nel quale la funzione integranda è l'esponenziale

  

  può essere ottenuto nel seguente modo:

  1. si considera l'integrale della gaussiana su tutto ℜ sia sulla variabile x sia sulla variabile y

     

     quindi

     

  2. nel piano Oxy alle coordinate cartesiane (x,y) si sostituiscono le coordinate polari (ρ,θ):

     

  3. il primo integrale vale 2π, il secondo è I₁, quindi

     

  4. data la simmetria della gaussiana, I₀ è la metà di questo valore: dunque

     

Si ottengono allora dalla (2)

e così via.

In generale

cioè

ultima revisione: Maggio 2018