Metodo - 3 - a cura di R. Bigoni

3. Le grandezze fisiche.

1. Grandezze.

Nella sezione precedente si è osservato che uno studio scientifico del fenomeni fisici tiene conto solo degli aspetti dei fenomeni le cui intensità è sono confrontabili nello stesso modo da tutti gli sperimentatori. Ad esempio, interessandosi come scienziati di due persone, non si può tener conto della loro bellezza o della loro simpatia, la cui intensità sono estremamente dipendenti dai gusti soggettivi degli osservatori, ma solo dei loro pesi, delle loro altezze, delle loro età, ecc.

Valutare l'intensità nello stesso modo significa che sono stabiliti in modo preciso e accettato da tutti (quindi in modo intersoggettivo) metodi per confrontare due distinte modalità dello stesso aspetto.

Ad esempio, mentre non esiste un modo intersoggettivo di confrontare le bellezze di due persone (o le bellezze della stessa persona in vari momenti di una giornata o della sua vita) esistono modi indiscutibili e accettati da tutti per confrontarne le altezze: basta ad esempio metterle scalze e diritte contro un muro e fare un segno sul muro in corrispondenza delle cime delle loro teste.

Gli aspetti dei fenomeni le cui intensità sono confrontabili nello stesso modo da tutti si dicono grandezze fisiche o, semplicemente, grandezze.

In molte situazione la descrizione completa di una grandezza non è esaurita dalla valutazione della sua intensità ma richiede che sia specificato il suo orientamento. Ad esempio, dire che una persona si è spostata di un passo non è sufficiente a descriverne il comportamento: bisognerà specificare se si è spostata in avanti o all'indietro o a destra o a sinistra o in altre direzioni intermedie tra le precedenti.

Grandezze che, come gli spostamenti, sono valutate non solo per la loro intensità ma anche per il loro orientamento sono dette grandezze vettoriali e la loro elaborazione richiede un metodo di calcolo appropriato detto algebra vettoriale, mentre l'elaborazione delle grandezze per le quali non è possibile definire un orientamento sono dette grandezze scalari e la loro elaborazione richiede i metodi dell'algebra dei reali o dell'algebra dei complessi.

2. Unità di Misura e Sistema Internazionale.

Individuata una grandezza, si sceglie una sua specifica modalità come termine di confronto per tutte le altre modalità; tale modalità è detta unità di misura. Ogni modalità della grandezza in esame viene rapportata all'unità di misura: il valore numerico del rapporto è la misura di quella modalità.

La scelta di una unità di misura è arbitraria: popolazioni diverse hanno scelto unità di misura diverse e spesso la stessa popolazione le ha cambiate nel corso della sua storia. Ma a partire dalla Rivoluzione Francese (1791) è cominciato un processo di unificazione delle unità di misura a livello mondiale, almeno in campo scientifico e tecnologico, che ha portato alla definizione del Sistema Internazionale di Unità di Misura (SI).

Questo processo di unificazione è in parte semplificato dal fatto che molte grandezze fisiche sono strettamente correlate tra di loro ed è quindi sufficiente definire le unità di misura alcune grandezze fondamentali per dedurre da esse quelle di altre grandezze correlate in modo più o meno diretto a una o più di quelle fondamentali.

Le grandezze fondamentali individuate dagli scienziati della Rivoluzione Francese sono fondamentalmente quattro: massa, intervallo di tempo, lunghezza e intensità di corrente elettrica (M,T,L,I).

Ogni altra grandezza può essere espressa come prodotto di potenze (con esponenti positivi o negativi) di queste quattro grandezze fondamentali. Questa espressione è detta equazione dimensionale della grandezza stessa.

Ad esempio, la velocità è definita come rapporto tra una lunghezza e una durata, quindi . Si vedrà in seguito che l'equazione dimensionale dell'energia è un prodotto tra massa e quadrato della velocità, dunque .

Per ogni unità di misura il SI prevede precisi prefissi per multipli e sottomultipli di mille in mille. Vedere ancora Wikipedia: Sistema Internazionale di Unità di Misura.

3. Notazione Scientifica.

Gli ambiti di variabilità delle grandezze fisiche sono molto estesi: da valori che in modo antropomorfico definiremmo 'piccolissimi' a valori che definiremmo 'grandissimi'. Per esprimere queste misura l'usuale notazione decimale in virgola fissa è del tutto inadeguata. In campo scientifico si usa di norma la notazione decimale in virgola mobile detta anche notazione scientifica o notazione esponenziale.

Per adeguarsi agli standard internazionali è inoltre consigliato sostituire l'uso della virgola come separatore decimale con l'uso anglosassone del punto, in cui le due notazioni sono indicate come fixed point (F) e floating point (E).

Nella forma E un numero è espresso come prodotto tra una mantissa (un numero decimale ≥ 1 e < 10) e una potenza di 10 con esponente intero (positivo o negativo).

Esempi

4. Misure angolari: il radiante.

Il SI non ammette il grado sessagesimale come unità di misura per gli angoli, ma il radiante.

Dato un angolo α, si tracci con centro nel vertice dell'angolo una circonferenza di raggio qualunque r. La misura di α è data dal rapporto tra la lunghezza l dell'arco intercettato dai lati di α sulla circonferenza e il raggio r.

Poiché la misura della circonferenza è 2π r, ne consegue che la misura in radianti dell'angolo giro è 2π, la misura dell'angolo piatto è π ed è immediato dedurre le misure in radianti dei sottomultipli più comuni dell'angolo piatto. Esempi

gradi	radianti
10°
30°
45°
60°
90°

Viceversa un radiante è un pi-esimo di angolo piatto, quindi in gradi è 180° diviso π, cioè .

In generale vale la seguente proporzione:

Nota la misura in gradi, si assume come incognita la misura in radianti; viceversa nota la misura in radianti, si assume come incognita la misura in gradi. Ma bisogna ricordare che in questa proporzione la misura in gradi deve essere in notazione decimale (non sessagesimale). Quindi se si ha la misura in gradi sessagesimali (cioè con primi e secondi), prima bisogna decimalizzarla e poi risolvere la proporzione. Viceversa, se si ha la misura in radianti, si risolve la proporzione ottenendo gradi decimali e poi si sessagesimalizza questo risultato. Le calcolatrici scientifiche permettono di fare direttamente queste trasformazioni.

Questionario

Questionario

Questionario

5. Incertezza delle misure.

La misura di una grandezza fisica non è ottenute deduttivamente come la misura di una ideale grandezza matematica ma tramite strumenti di misura e procedimenti pratici che non possono portare a valori esatti come quelli concepiti in Matematica, ma solo alla valutazione di un intervallo contenente la misura da valutare.

Ad esempio in Matematica noi diciamo che la diagonale di un quadrato di lato 1m è √2m perché supponiamo di conoscere esattamente la misura del lato e applichiamo il Teorema di Pitagora. Ma operando sperimentalmente per valutare la misura del lato si deve usare uno strumento più o meno preciso, ad esempio una riga da disegno o un micrometro di Palmer, che non ci permette di avere la misura idealmente esatta del lato, ma solo di fissare un intervallo, tanto minore quanto più lo strumento è preciso, contenente la misura ideale.

Ogni misura fisica, a differenza delle misure ideali della Matematica, è affetta da incertezza (o, come si suole anche dire, da errore), quindi in ambito scientifico non ha senso esprimere una misura senza specificare la sua incertezza che va accostata alla stima della misura preceduta dal segno ±. L'incertezza va arrotondata ad una sola cifra significativa; l'ultima cifra sensata della media è quella affetta da incertezza, quindi questa è l'ultima cifra che ha senso esprimere; le cifre successive vanno eliminate, eventualmente aumentando di una unità l'ultima cifra mantenuta se la prima cifra eliminata è ≥ 5.

Ad esempio bisognerà dire che il peso di una persona è (64.2 ± 0.1)kg.

L'incertezza sulla misura diretta di una grandezza può essere valutata in due modi diversi a seconda dell'esito di molte misure.

• Replicando molte volte la misura, si ottiene sempre lo stesso valore.

  Questo accade quando la misura è fatta con uno strumento grossolano.

  Ad esempio, pesandosi ripetutamente su una bilancia pesapersone, si ottiene sempre lo stesso peso. In questo caso l'incertezza è data, come nell'esempio proposto sopra, dalla minima variazione percepita dalla bilancia.

• Replicando molte volte la misura, si ottengono valori casualmente sparpagliati attorno ad una media.

  Questo accade quando la misura è fatta con uno strumento raffinato.

  Ad esempio, misurando molte volte il periodo di oscillazione di un pendolo con un cronometro al centesimo di secondo, si ottiene una serie di valori diversi. In questo caso la stima della misura è data dalla media m delle misure e l'incertezza è data dal triplo della deviazione standard σ del campione di misure poiché l'analisi statistica dimostra che la probabilità che una futura misura cada nell'intervallo [m - 3 σ , m + 3 σ] è vicina all 100%.

  Se il triplo della deviazione standard non è significativamente più piccolo della media, il campione di misure è privo di valore operativo e le misure vanno rifatte migliorando strumentazione e metodo di lavoro.

La seguente applicazione Javascript calcola media e deviazione standard di un campione di misure.

I dati posso essere immessi come valori numerici interi, frazionari, decimali in punto fisso o mobile (es.: 1.23e-4) ed anche come valori di funzioni (es.: Sin[1], Sqrt[2]. ecc.) o di espressioni (es.: Sqrt[2]+Sqrt[3]).

Se una misura non deriva direttamente da uno strumento ma è il risultato di una elaborazione di altre misure dirette, essa sarà in generale affetta da incertezza maggiore di quelle relative alle misure dirette. Per approfondire questa tematica vedere in questo sito Propagazione delle incertezze.