6. Onde e.m. nel vuoto


Nel vuoto, in assenza di cariche e correnti, indicando con ε0 la permittività elettrica e con μ0 la permeabilità magnetica, le equazioni di Maxwell (4.8) assumono la seguente forma:

Eqn601.gif

Uguagliando il rotore di entrambi i membri nella (6.1.3) si ha

Eqn602.gif

e, ricavando il rotore di B dalla (6.1.4), si ha

Eqn603.gif

Dall'identità (5.10) inoltre si ha

Eqn604.gif

e, per la (6.1.1),

Eqn605.gif

Uguagliando i secondi membri nelle uguaglianze (6.2) e (6.3) si ottiene

Eqn606.gif

Operando in modo analogo sull'equazione relativa al rotore di B, si ottiene anche

Eqn607.gif

Se si pone Eqn608.gif e si rappresentano i campi con ψ si ottiene l'equazione di d'Alembert

Eqn609.gif

che ammette soluzioni generali, dette funzioni d'onda, di tipo

Eqn610.gif

Quindi, nel vuoto, campi elettrici e magnetici, si propagano come onde di velocità di modulo Eqn611.gif.

Ricavato dalle misure della permeabilità e della permittività del vuoto, il valore di questa velocità coincide con quelle della luce c, misurato otticamente da Foucault. Di conseguenza, le (6.4) e (6.5) possono più semplicemente essere scritte

Eqn612.gif

Eqn613.gif

Se, per semplicità, si assumono come soluzioni della (6.7) e (6.8) funzioni d'onda sferiche sinusoidali di pulsazione ω e numero d'onda k e si esprimono queste soluzioni in forma esponenziale complessa

Eqn614.gif

dove r > 0 rappresenta la distanza di un punto P da una sorgente puntiforme nell'origine O,

Eqn615.gif

Eqn616.gif

si ottiene

Eqn617.gif

e analogamente, per le altre due componenti,

Eqn618.gif

Eqn619.gif

La divergenza di E risulta allora

Eqn620.gif

Per la (6.1.1) la divergenza di E è nulla, dunque

Eqn621.gif

La (6.15) implica che il vettore E è ortogonale al vettore r, cioè nelle onde elettromagnetiche nel vuoto, il campo elettrico è perpendicolare alla direzione di propagazione.

Dato che anche B ha divergenza nulla, la stessa conclusione vale anche per il campo di induzione magnetica.

Il rotore di E risulta

Eqn622.gif

Per (6.1.3) si ha

Eqn623.gif

e in definitiva

Eqn624.gif

dove ur è il versore della direzione di propagazione. La (6.17) mostra che E e B, oltre ad essere perpendicolari alla direzione di propagazione r, sono perpendicolari tra loro formando una terna levogira. Inoltre, uguagliando i moduli dei due membri della (6.16) si ha

Eqn625.gif

La sistemazione teorica dell'elettromagnetismo operata da Maxwell non è stata una pura riorganizzazione assiomatica delle conoscenze precedentemente acquisite, ma è stata una vera rivoluzione scientifica e tecnologica: