6. L'ipotesi di De Broglie.

Studiando le modalità di assorbimento e di emissione di luce o più in generale di onde elettromagnetiche da parte di superfici perfettamente assorbenti (corpo nero) Planck arrivò alla conclusione che questi fenomeni non si possono spiegare con emissioni o assorbimenti continui di energia come quelli tipici delle onde descritti nella (3.9) e (3.10): per non incorrere in paradossi inaccettabili sia teoricamente sia sperimentalmente bisogna ammettere che l'energia viene assorbita o emessa in quantità discrete Δ proporzionali alla frequenza ν dell'onda

La costante di proporzionalità h, detta dal nome del suo scopritore costante di Planck, vale, secondo le misure più recenti e precise,

Risultava quindi che emissione e assorbimento di energia, anche quando la propagazione di energia è ascrivibile a propagazione di onde in quanto soggetta a fenomeni di interferenza, avvengono con modalità tipiche delle particelle, cioè con lo scambio di quantità discrete, dette appunto quanti di energia.

Questa cosa risultava inconcepibile ai fisici contemporanei e allo stesso Planck, convinti della mutua incompatibilità tra comportamento ondulatorio e comportamento corpuscolare. Planck presentava i propri risultati solo come espediente matematico provvisorio in attesa di una teoria migliore.

Ma lo studio di altri fenomeni, come l'effetto fotoelettrico (Einstein) o l'effetto Compton convinse la maggioranza dei fisici che la teoria di Planck sulla radiazione del corpo nero era non solo matematicamente ma anche fisicamente corretta e che era sbagliata invece la convinzione dell'incompatibilità tra modello corpuscolare e modello ondulatorio della propagazione dell'energia.

Tra di essi De Broglie (1926) ipotizzò che oggetti fisici ai quali veniva fino ad allora attribuita natura corpuscolare, come ad esempio gli elettroni, potessero manifestare comportamenti e proprietà tipici della onde come interferenza e lunghezza d'onda.

In particolare De Broglie suppose che ogni particella dotata di momento (o quantità di moto) di modulo p fosse caratterizzata da una lunghezza d'onda λ inversamente proporzionale al momento:

Questa ipotesi, oltre ad essere coerente con il modello di atomo di idrogeno proposto da Bohr per spiegare le serie di righe dello spettro di quest'atomo, fu suffragata molto presto da controlli sperimentali eseguiti da Davisson e Germer che mostravano come una radiazione costituita da elettroni fosse soggetta ad fenomeni di interferenza dai quali si poteva dedurre le loro lunghezza d'onda.

Ci si pose quindi il problema: se una particella ha proprietà ondulatorie, qual è la sua funzione d'onda?

Per affrontare questo problema in una situazione abbastanza semplice, si consideri una particella di massa m costretta a muoversi nello spazio delimitato da due pareti rigide parallele con velocità di modulo v perpendicolare alle pareti stesse.

La descrizione classica non relativistica (che coincide con quella intuitiva) del moto della particella porta a concludere che la particella si muove di moto rettilineo, con velocità costante in modulo ma che cambia di verso ad ogni urto con le pareti.

Detta L la distanza tra le pareti, scelta come origine la posizione della parete sinistra, supponendo inizialmente la particella a contatto con la parete sinistra e velocità positiva (verso destra) e indicato con T il tempo intercorrente tra due urti successivi contro la stessa parete, l'equazione oraria del moto della particella può essere rappresentata da un grafico orario di questo tipo:

Il grafico evidenzia che è possibile stabilire posizione e velocità della particella in ogni istante t (tranne quando la particella urta contro le pareti: in questo caso la funzione oraria non è derivabile, quindi la velocità non è definibile).

Supponendo costantemente nulla l'energia potenziale, l'energia della particella coincide con la sua energia cinetica:

Questa energia, in linea di principio, può assumere qualunque valore da 0 a infinito.

Se però si assume l'ipotesi di De Broglie bisogna pensare la particella come un'onda stazionaria confinata tra due barriere di potenziale descritta quindi da un'equazione del tipo della (5.11).

Un'onda è un fenomeno che coinvolge tutto il mezzo: non è quindi più possibile dare un senso fisico al concetto di posizione. Il massimo che si può dire è che l'onda è situata nello spazio tra 0 e L.

Inoltre se nella (6.4) si usa la relazione (6.3)

Inoltre, nella situazione proposta, la lunghezza d'onda è sottoposta alla condizione (5.1) e quindi

Ad ognuna delle funzioni Ψ_n corrisponde quindi un livello energetico .

Si giunge quindi ad una conclusione completamente divergente da quelle che la meccanica classica prevede per una particella: l'energia non può variare con continuità da 0 a infinito, ma può assumere solo i valori discreti

In particolare l'energia non può annullarsi: il minimo valore che essa può assumere è

Questo valori sono tanto più vicini tra loro quanto più m e L sono grande rispetto ad h. Nell'analisi dei fenomeni macroscopici le masse e gli spostamenti sono talmente grandi rispetto ad h che l'energia appare variabile in modo continuo. Ma nell'analisi di moti di corpi di massa molto piccola confinati in zone molto piccole di spazio, come ad esempio del moto degli elettroni nei dintorni di un nucleo, la differenza diventa sostanziale.

I risultati di questa analisi si combinano bene con quelli ottenuti da Planck nell'analisi della radiazione del corpo nero e con quelli ottenuti da Bohr nell'analisi dello spettro dell'atomo di idrogeno.

Se ad esempio una particella dallo stato di energia passa allo stato di energia essa perde una quantità discreta di energia . Questa energia si propaga nello spazio come onda elettromagnetica di frequenza