Ottica Geometrica

(note a cura di Roberto Bigoni)

Principi fondamentali.

Alcuni fenomeni ottici possono essere spiegati, almeno nei loro aspetti fondamentali, costruendo modelli geometrici in base ai seguenti principi.

• Ogni punto di una sorgente luminosa in un mezzo trasparente omogeneo emette segnali che si propagano in linea retta in tutte le direzioni radiali; il percorso di ognuno di questi segnali è un raggio luminoso.

• La velocità della radiazione dipende dal mezzo ed è massima nel vuoto;
  la velocità nel vuoto è indicata con c.

• Un raggio che colpisce una superficie S perfettamente riflettente, cioè la superficie di uno specchio, rimbalza formando, rispetto alla normale (cioè la perpendicolare) n alla superficie nel punto di incidenza, un angolo di riflessione β uguale all'angolo di incidenza α.

  

• Un raggio che colpisce la superficie di separazione tra due mezzi trasparenti diversi A e B, in cui si propaga con velocità rispettive v_A e v_B si sdoppia: una parte viene riflessa come nel caso precedente, l'altra deflette dal suo percorso rettilineo formando, rispetto alla normale alla superficie nel punto di incidenza, angoli α e β tali che (legge di Snell).

  

  Il rapporto n_BA è detto indice di rifrazione relativo di B rispetto ad A; se A è il vuoto il il rapporto n_BA è detto indice di rifrazione assoluto di B e può essere indicato semplicemente con n_B.

  L'indice di rifrazione, oltre che dal mezzo ottico, dipende anche dal colore del raggio, quindi raggi di diverso colore vengono rifratti in modo diverso.

  Dati α e n_BA dalla legge di Snell si ha ; se n_BA ≤ senα (cioè se il secondo mezzo è sufficientemente più veloce del primo), si ha senβ ≥ 1. L'impossibilità matematica corrisponde all'impossibilità fisica della rifrazione: in questo caso il raggio incidente è completamente riflesso; la superficie si comporta come uno specchio.

Specchi

• Se due raggi emessi dallo stesso punto A di una sorgente, dopo essere stati riflessi da uno specchio, convergono nello stesso punto A', posto dalla stessa parte di A rispetto allo specchio, riemergendo da A' si comportano esattamente come fossero emessi da A'. A' è una immagine di A. In questo caso l'immagine è detta reale.

  Se invece due raggi emessi dallo stesso punto A di una sorgente, dopo essere stati riflessi da uno specchio, divergono, sono i loro prolungamenti oltre la superficie speculare a convergere nello stesso punto A'. I raggi riflessi vengono percepiti come se fossero emessi da A'. A' è una immagine virtuale di A.

  L'insieme di tutti i punti A' forma un'immagine completa della sorgente.

  Gli specchi piani producono sempre immagini virtuali.

• Gli specchi ricavati da calotte sferiche di grande raggio, possono essere di due tipi:

  • rientranti (specchi sferici concavi);
  • sporgenti (specchi sferici convessi).

  Negli specchi concavi i raggi paralleli all'asse ottico, cioè la retta congiungente il centro C della sfera con il vertice V della calotta, e molto prossimi ad esso (raggi parassiali), riflessi dallo specchio, convergono nello stesso punto F, intermedio tra C e V, detto fuoco reale.

  Viceversa, tutti i raggi passanti per il fuoco, sono riflessi parallelamente all'asse ottico.

  Tutti i raggi passanti per C hanno angoli di incidenza e riflessione nulli: rimbalzano su sé stessi.

  

  Controllando la convergenza delle riflessioni di due di questi raggio o dei loro prolungamenti si ottiene o un immagine reale o un'immagine virtuale.

  Se ci allontana dalle condizioni ideali (grande raggio sferico, raggi parassiali) il fuoco non è puntiforme: si ha una caustica e le immagini presentano aberrazioni sferiche.

  Negli specchi convessi ideali il fuoco è virtuale e anche le immagini sono sempre virtuali.

Diedri (prismi)

Se un mezzo ottico trasparente è delimitato rispetto all'esterno da due superfici piane che formano un angolo di apertura φ un raggio che penetra in esso dall'esterno è, di norma, soggetto a due rifrazioni, la seconda in senso contrario alla prima. Le due rifrazioni producono una deflessione del raggio originario.

Nello stesso mezzo ottico colori diversi hanno indici di rifrazione diversi, quindi, a parità di angolo di incidenza e di mezzo ottico, colori diversi hanno deflessioni diverse. Se un raggio, come ad esempio la luce bianca, è in realtà la sovrapposizione di più raggi monocromatici, ognuno di questi raggi viene deflesso su un percorso diverso da quello degli altri. Il prisma può quindi evidenziare lo spettro di un raggio composto.

Viceversa, conoscendo l'angolo di deflessione di un colore, si può determinare il suo indice di rifrazione.

Se l'angolo tra le superfici rifrangenti è nullo, cioè le due superfici sono parallele, il diedro si riduce ad una lastra; le due successive rifrazioni di un raggio si neutralizzano a vicenda e la deflessione finale del raggio è nulla, cioè la direzione di uscita è parallela alla direzione di entrata.

Sfere

In un mezzo ottico con indice di rifrazione n>1, delimitato da una superficie sferica di centro O, un raggio luminoso AB proveniente dall'esterno ha un angolo di incidenza i e un angolo di rifrazione r rispetto al raggio OB. La parte rifratta del raggio incide sulla superficie in C con angolo di incidenza r e una parte di essa viene riflessa con angolo di riflessione r. A sua volta questa parte colpisce la superficie in D, sempre con angolo di incidenza r, e viene rifratta all'esterno con angolo di rifrazione r' rispetto al raggio OD. Quindi una quota di un raggio di direzione AB proveniente dalle spalle di chi osserva la sfera, viene vista dall'osservatore come proveniente dalla sfera con direzione DE.

Questo modello permise a Cartesio di render conto di alcune delle principali caratteristiche fisiche dell'arcobaleno.

Lenti

Un mezzo ottico delimitato da due calotte sferiche coassiali è una lente sferica. L'asse ottico è la retta che passa per i centri delle sfere da cui sono ricavate le calotte.

Se la lente è sottile, tutti i raggi parassiali monocromatici (paralleli all'asse ottico, molto vicini ad esso e dello stesso colore), attraversando la lente, possono

• convergere nello stesso punto F (fuoco): la lente è convergente ed ha un fuoco reale;
• divergere in modo che sono i loro prolungamenti a convergere nello stesso punto F: la lente è divergente ed ha un fuoco virtuale;

Sempre nell'ipotesi di lente sottile, si può assumere che tra i vertici delle calotte le superfici delle lenti siano parallele: in questa zona la lente si comporta come una lastra. Detto C (centro) il punto intermedio tra i vertici, si può quindi assumere che i raggi passanti per C non vengano deflessi.

Dato un punto sorgente S e tracciando da esso il raggio parallelo all'asse ottico e il raggio passante per C, se i raggi emergenti dalla lente convergono, il punto di convergenza I è un'immagine reale di S. Se invece i raggi emergenti dalla lente divergono, il punto I di convergenza dei loro prolungamenti è un'immagine virtuale di S.

Ottica Ondulatoria

I principi dell'ottica geometrica non possono rendere conto di altri importanti fenomeni luminosi come l'interferenza e la diffrazione, per spiegare i quali risultata necessaria l'interpretazione dei fenomeni luminosi come dovuti alla propagazione di onde sinusoidali nei campi elettromagnetici.

ultimo aggiornamento: dicembre 2016