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Durante la prima fase il potenziale totale all'interno del circuito è:
Ricordando che la corrente è la derivata rispetto al tempo della carica presente si può scrivere:
L'equazione precedente costituisce una equazione differenziale che può essere risolta per separazione di variabili, pertanto per semplificare lo sviluppo si moltiplica ambo i membri per C:
Ora si dividono ambo i membri per fC-q e per RC:
Separate le variabili ordinatamente si può procedere con l'integrazione.
Le soluzioni dei due integrali sono:
Poiché la funzione interessata è q, è necessario esprimere quest'ultima in funzione di t:
La costante di normalizzazione A dipende dalle condizioni iniziali del circuito poiché per t = 0 la carica è zero e nell'equazione l'esponenziale sempre per lo stesso t è uno allora A è uguale a fC:
Raccogliendo fC si ha:
Per quanto riguarda la fase di scarica del condensatore so può procedere in modo analogo per quanto è stato fatto per la carica, quindi, il potenziale complessivo del circuito è:
Ma in questo caso f è uguale a zero poiché la batteria non alimenta il circuito, ma esso è alimentato dalla fase di scarica del condensatore stesso, quindi:
Anche questa equazione è differenziale ed è sempre possibile risolverla per separazione di variabili:
Procedendo con l'integrazione:
La soluzione dell'equazione differenziale è:
Dovendo ancora trovare q in funzione di t, è necessario isolare q, pertanto:
La costante di normalizzazione dipende dalle condizioni iniziali del circuito, ovvero per t uguale a 0, in questo momento la carica sulle due armature del condensatore è Q0, ovvero una massima carica che coincide con quella della fase di carica per t che tende all'infinito:
Poiché l'esperienza condotta in laboratorio prevedeva la misura di potenziali e tempi, è meglio, per verificare se l'esperienza ha portato valori apprezzabili, esprimere e le due equazioni del circuito q(t), ma V(t), e per raggiungere questo scopo bisogna soltanto dividere ambo i membri delle due equazioni per la capacità del condensatore C:
Per la fase di carica
Per la fase di scarica
