Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO SPERIMENTALE-P.N.I.

 

Tema di MATEMATICA

 

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.


PROBLEMA 1


 

Un filo metallico di lunghezza l viene utilizzato per delimitare il perimetro di un'aiuola rettangolare.

a) Qual è l'aiuola di area massima che è possibile delimitare?

Si pensa di tagliare il filo in due parti e di utilizzarle per delimitare un'aiuola quadrata e un'altra circolare. Come si dovrebbe tagliare il filo affinché:

b) la somma delle due aree sia minima?

c) la somma delle due aree sia massima?

Una aiuola, una volta realizzata, ha la forma di parallelepipedo rettangolo; una scatola, cioè, colma di terreno. Si discute di aumentare del 10% ciascuna sua dimensione. Di quanto terreno in più, in termini percentuali, si ha bisogno?

svolgimento

 


PROBLEMA 2


Si considerino le funzioni f e g determinate da Eqn1.gif, essendo a un parametro reale e il logaritmo in base e.

1. Si discuta, al variare di a, l'equazione Eqn2.gif e si dica, in particolare, per quale valore di a i grafici di f e g sono tra loro tangenti.

2. Si calcoli, posto Eqn3.gif, l'area che è compresa fra i grafici di f e g (con x > 0) nella striscia di piano determinata delle rette d'equazioni y=-1 e y=-2

3. Si studi la funzione Eqn4.gif scegliendo per a un valore numerico maggiore di Eqn5.gif e se ne disegni il grafico.

svolgimento

 


QUESTIONARIO


 

  1. Si narra che l'inventore degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando il numero dei chicchi, fino alla 64a casella. Assumendo che 1000 chicchi pesino circa 38g, calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall'inventore.

    svolgimento

  2. I poliedri regolari - noti anche come solidi platonici - sono, a meno di similitudini, solo cinque: il tetraedro, il cubo, l'ottaedro, il dodecaedro e l'icosaedro. Sai dimostrarlo?

    svolgimento

  3. In un piano sono dati una retta r e due punti A e B ad essa esterni ma situati nel medesimo semipiano di origine r. Si trovi il più breve cammino che congiunge A con B toccando r.

    svolgimento

  4. Si dimostra che l'equazione Eqn6.gif ha una e una sola radice α e, utilizzando una calcolatrice tascabile, se ne dia una stima. Si descriva altresì una procedura di calcolo che consenta di approssimare α con la precisione voluta.

    svolgimento

  5. Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di Eqn7.gif è uguale a 2n per ogni n∈N.

    svolgimento

  6. L'equazione risolvente di un dato problema è: Eqn8.gif dove k è un parametro reale e x ha le seguenti limitazioni: Eqn9.gif. Si discuta per quali valori di k le radici dell'equazione siano soluzioni del problema.

    svolgimento

  7. Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici italiani del secolo scorso, del quale ricorre quest'anno il centenario della nascita, alla domanda: "che cos'è la probabilità?" era solito rispondere: "la probabilità non esiste!". Quale significato puoi attribuire a tale risposta? È possibile collegarla ad una delle diverse definizioni di probabilità che sono state storicamente proposte?

    svolgimento

  8. Un tiratore spara ripetutamente ad un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascun tiro. Quanti tiri deve fare per avere probabilità ≥0,99 di colpirlo almeno una volta?

    svolgimento

  9. Della funzione f(x) si sa che è derivabile e diversa da zero in ogni punto del suo dominio e, ancora, che f'(x)=f(x) e f(0)=1. Puoi determinare f(x)?

    svolgimento

  10. Tenuto conto che

    Eqn10.gif

    calcola un'approssimazione di π utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati.

    svolgimento

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Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile e la consultazione del vocabolario di italiano.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.