Questionario - 2017

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Quesito 1

Integrando per parti si ha

Eqn001.gif

In modo analogo

Eqn002.gif


Quesito 2

Sezione piana dei solidi su un piano passante per il raggio perpendicolare alla base della semisfera nel centro O della stessa.

img00.png

Detto r i raggio della semisfera, il suo volume misura

Eqn003.gif

Detta θ la misura dell'angolo AOH, si ha

Eqn004.gif

Il volume del cilindro inscritto misura

Eqn005.gif

Il volume è crescente dove la sua derivata è positiva. La derivata è

Eqn006.gif

Il coseno nell'intervallo studiato è costantemente positivo per cui la derivata prima è positiva per

Eqn007.gif

Il volume del cilindro è massimo per

Eqn008.gif

Il suo valore massimo è

Eqn009.gif

Il rapporto tra VM e quello della semisfera è

Eqn010.gif


Quesito 3

Il limite può sussistere solo se il numeratore tende a 0:

Eqn011.gif

Quindi

Eqn012.gif

Applicando il teorema di De L'Hôpital

Eqn013.gif


Quesito 4

Il valor medio della distribuzione continua di probabilità è

Eqn014.gif

Se la densità di probabilità è continua, non ha senso chiedere la probabilità di un valore puntuale.

La probabilità della seconda estrazione non è condizionata da eventuali estrazioni precedenti, quindi la probabilità chiesta è

Eqn015.gif


Quesito 5

Le equazioni di una retta per due punti A e B di coordinate note sono

Eqn016.gif

Quindi l'equazione chiesta è

Eqn017.gif

L'equazione di un piano ha forma

Eqn018.gif

Il piano è perpendicolare alla retta se i suoi coefficienti a, b, c coincidono con i denominatori delle equazioni della retta, quindi

Eqn019.gif

Le coordinate di C verificano l'equazione del piano, dunque

Eqn020.gif

In definitiva l'equazione del piano π è

Eqn021.gif


Quesito 6

Numeratore e denominatore della frazione di cui si deve calcolare il limite sono funzioni indefinitamente derivabili entrambe convergenti a 0. Per risolvere l'indeterminazione è possibile applicare il teorema di De L'Hôpital fino a che non si trova un numeratore o un denominatore non convergente a 0.

Eqn022.gif

L'ultimo numeratore converge a -1. Se il denominatore diverge, la frazione converge a 0. Se il denominatore converge a 0, la frazione diverge. Perché non si verifichi nessuna di queste due ultime situazioni bisogna che l'esponente della x a denominatore sia nullo, cioè che a = 3.


Quesito 7

Con un procedimento inverso a quello proposto nella soluzione del quesito 5, noti i coefficienti a, b, c dell'equazione del piano, si possono ricavare le equazioni di una retta perpendicolare al piano stesso.

Eqn023.gif

Le equazioni della stessa retta in forma parametrica sono quindi

Eqn024.gif

I quadrati delle distanze dei centri C delle sfere dal punto P sono uguali a 6. Dunque

Eqn025.gif

Dalle equazioni parametriche si ottengono

Eqn026.gif


Quesito 8

La somma delle probabilità di tutti gli eventi deve essere 1, per cui tutti i numeri diversi da 3 hanno probabilità 1/13 e il 3 ha probabilità 2/13.

Eqn027.gif

Per calcolare la probabilità che in 5 lanci il 3 esca almeno 2 volte, conviene calcolare separatamente, applicando il teorema di Bernoulli, le probabilità che il 3 non esca mai e che il 3 esca una volta, sommare queste due probabilità e poi calcolare la probabilità complementare.

Eqn028.gif


Quesito 9

La funzione continua su tutto R f(x)

Eqn029.gif

è tale che

Eqn030.gif

quindi, per teorema di continuità di Bolzano ha almeno uno zero. Inoltre sua derivata

Eqn031.gif

è evidentemente positiva ∀x∈R e quindi f(x) è sempre crescente e quindi può azzerarsi solo una volta.


Quesito 10

Il grafico di f(x)

img01.png

evidenzia la presenza di due punti angolosi di ascisse ±2 per i quali la funzione non è derivabile e quindi il teorema di Rolle non è applicabile.

Tuttavia il teorema di Rolle riguarda una condizione sufficiente ma non necessaria e quindi possono verificarsi situazioni, come quella proposta nella quali, anche se il teorema non è applicabile, esista un punto all'interno dell'intervallo considerato, in cui la derivata prima si annulla.


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