Siano γ1 e γ2 le parabole con asse la retta r, vertice in P e stessa distanza focale di γ
(distanza fuoco-direttrice pari a
per la parabola
di equazione y = a x2 + b x + c).
In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy sia data la parabola γ di equazione y = x2
e sia P un suo punto di ascissa λ ≠
0 ed r la parallela per P all'asse y.
Siano γ1 e
γ2 le parabole con asse la retta
r, vertice in P e stessa distanza focale di
γ
(distanza fuoco-direttrice pari a
per la parabola
di equazione y = a x2 + b x + c).
Il candidato:
scriva in funzione di λ le equazioni di γ1 e γ2, essendo γ1 la parabola che incontra γ solo in P;
scriva le equazioni delle trasformazioni che mutano γ in γ1 e γ in γ2;
dica la natura di dette trasformazioni precisando se si tratta di trasformazioni dirette o inverse e se hanno elementi che si trasformano in se stessi;
fissato λ = 1 e dette T,
T1, T2 le rispettive
intersezioni di γ,
γ1 e γ2
con la retta di equazione
x - h = 0 si studi la funzione
, al variare
di h, e ne tracci il relativo grafico in un piano
riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali
O'hz.
In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani
ortogonali Oxy sia r la retta di equazione x - 1 =
0
e P un suo punto. Siano A e B i punti
d'intersezione della retta OP con la circonferenza di
centro P e raggio
.
Il candidato:
verifichi che il luogo di A e B, al
variare del punto P su r, è dato dalle
curve γ1 e γ2
rispettivamente di equazione
y = f1( x ) e y = f2( x
), essendo:
determini l'insieme E di esistenza della funzione f1( x ), gli insiemi in cui essa assume valore positivo, negativo o nullo, gli eventuali asintoti, il valore x0 in cui ha un massimo relativo, e dimostri che le tangenti a γ1 nei punti le cui ascisse sono gli estremi di E nei quali f1( x ) è definito, sono parallele all'asse y;
disegni la curva γ1 e, quindi, la curva γ2;
detta t la tangente alla curva γ1 nel suo punto M(xo, f ( xo ) ) determini l'ulteriore intersezione di t con γ1;
detta S l'area della regione finita di piano compresa tra γ1, l'asse x e la parallela all'asse y per il punto M, descriva una procedura che consenta di calcolare, mediante un metodo d'integrazione numerica a sua scelta, i valori approssimati di S e la codifichi in un linguaggio di programmazione conosciuto.
Si consideri in un piano α un rettangolo ABCD in cui i lati BC e AB misurano rispettivamente a e 2a. Sia AEF, con E appartenente ad AB ed F appartenente a CD, un triangolo isoscele la cui base AE ha misura 2r.
Il candidato,
dimostri che una retta s parallela ad AB, a distanza x da essa, interseca i triangoli AEF ed AEC secondo segmenti uguali;
detta C1 la circonferenza di diametro AE e appartenente al piano γ passante per AB e perpendicolare ad α, e detti T1 e T2 i coni di base C1 e vertici rispettivamente nei punti F e C, dimostri che le sezioni C1' e C2' di detti coni con il piano γ', passante per la retta e e parallelo al piano γ, sono circonferenze;
determini i volumi dei coni T1 e T2;
determini, per via sintetica o analitica, il valore di x per il quale C1' e C2' sono tangenti esternamente.
La prova richiede lo svolgimento di due
soli problemi scelti tra quelli proposti.
Durata massima della prova: 5 ore.
È consentito l’uso della calcolatrice scientifica non
programmabile.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano
trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.
