,
essendo a un parametro reale e il logaritmo in base e.
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.
Un filo metallico di lunghezza l viene utilizzato per delimitare il perimetro di un'aiuola rettangolare.
a) Qual è l'aiuola di area massima che è possibile delimitare?
Si pensa di tagliare il filo in due parti e di utilizzarle per delimitare un'aiuola quadrata e un'altra circolare. Come si dovrebbe tagliare il filo affinché:
b) la somma delle due aree sia minima?
c) la somma delle due aree sia massima?
Una aiuola, una volta realizzata, ha la forma di parallelepipedo rettangolo; una scatola, cioè, colma di terreno. Si discute di aumentare del 10% ciascuna sua dimensione. Di quanto terreno in più, in termini percentuali, si ha bisogno?
Si considerino le funzioni f e g determinate da
,
essendo a un parametro reale e il logaritmo in base e.
1. Si discuta, al variare di a, l'equazione
e si dica,
in particolare, per quale valore di a i grafici di f e g sono
tra loro tangenti.
2. Si calcoli, posto
,
l'area che è compresa fra i grafici di f e g (con x > 0)
nella striscia di piano determinata delle rette d'equazioni y=-1 e y=-2
3. Si studi la funzione
scegliendo per a un valore numerico maggiore di
e se
ne disegni il grafico.
Si narra che l'inventore degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando il numero dei chicchi, fino alla 64a casella. Assumendo che 1000 chicchi pesino circa 38g, calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall'inventore.
I poliedri regolari - noti anche come solidi platonici - sono, a meno di similitudini, solo cinque: il tetraedro, il cubo, l'ottaedro, il dodecaedro e l'icosaedro. Sai dimostrarlo?
In un piano sono dati una retta r e due punti A e B ad essa esterni ma situati nel medesimo semipiano di origine r. Si trovi il più breve cammino che congiunge A con B toccando r.
Si dimostra che l'equazione
ha una
e una sola radice α e, utilizzando una calcolatrice tascabile, se ne dia una stima.
Si descriva altresì una procedura di calcolo che consenta di approssimare α
con la precisione voluta.
Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di
è uguale a 2n per ogni n∈N.
L'equazione risolvente di un dato problema è:
dove k è un parametro reale e x ha le seguenti limitazioni:
.
Si discuta per quali valori di k le radici dell'equazione siano soluzioni del problema.
Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici italiani del secolo scorso, del quale ricorre quest'anno il centenario della nascita, alla domanda: "che cos'è la probabilità?" era solito rispondere: "la probabilità non esiste!". Quale significato puoi attribuire a tale risposta? È possibile collegarla ad una delle diverse definizioni di probabilità che sono state storicamente proposte?
Un tiratore spara ripetutamente ad un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascun tiro. Quanti tiri deve fare per avere probabilità ≥0,99 di colpirlo almeno una volta?
Della funzione f(x) si sa che è derivabile e diversa da zero in ogni punto del suo dominio e, ancora, che f'(x)=f(x) e f(0)=1. Puoi determinare f(x)?
Tenuto conto che
calcola un'approssimazione di π utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati.
_______________________________________________________________
Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile e la
consultazione del vocabolario di italiano.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla
dettatura del tema.