Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO SPERIMENTALE
Indirizzo: PIANO NAZIONALE INFORMATICA

Tema di MATEMATICA

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

Sia f la funzione definita sull'insieme R dei numeri reali da e sia Γ la sua rappresentazione grafica nel sistema Oxy.

1. Si determini il limite di f(x) per x che tende a +∞ e a -∞. Si calcoli f(x)+f(-x) e si spieghi perché dal risultato si può dedurre che il punto è centro di simmetria di Γ.
2. Si provi che, per tutti i reali m, l'equazione ammette una e una sola soluzione in R.
   Sia α la soluzione dell'equazione ; per quale valore di m il numero -α è soluzione dell'equazione ?
3. Si provi che, per tutti gli x reali è: . Si provi altresì che la retta r di equazione e la retta s di equazione sono asintoti di Γ e che Γ è interamente compresa nella striscia piana delimitata da r e da s.
4. Posto , si calcoli: . Qual è il significato geometrico del risultato ottenuto?

svolgimento

PROBLEMA 2

Per il progetto di una piscina un architetto si ispira alle funzione f e g definite, per tutti gli x reali, da:

e

1. Si studino le funzioni f(x) e g(x) e se ne disegnino i rispettivi grafici in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy. Si considerino i punti del grafico di g a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell'intervallo [-10;10] e se ne indichino le coordinate.
2. L'architetto rappresenta la superficie libera dell'acqua nella piscina con la regione R delimitata dai grafici di f e di g sull'intervallo [0;4]. Si calcoli l'area di R.
3. Ai bordi della piscina, nei punti di intersezione del contorno di R con le rette e , l'architetto progetta di collocare dei fari per illuminare la superficie dell'acqua. Si calcolino le ascisse di tali punti (è sufficiente un'approssimazione a meno di 10^-1).
4. In ogni punto di R a distanza x dall'asse y, la misura della profondità dell'acqua nella piscina è data da . Quale sarà il volume dell'acqua nella piscina? Quanti litri d'acqua saranno necessari per riempire la piscina se tutte le misure sono espresse in metri?

svolgimento

QUESTIONARIO

1. Silvia, che ha frequentato un indirizzo sperimentale di liceo scientifico, sta dicendo ad una sua amica che la geometria euclidea non è più vera perché per descrivere la realtà del mondo che ci circonda occorrono modelli di geometria non euclidea. Silvia ha ragione? Si motivi la risposta.

   svolgimento

2. Si trovi il punto della curva più vicino al punto di coordinate (4;0).

   svolgimento

3. Sia R la regione delimitata, per , dalla curva e dall'asse x e sia W il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all'asse y. Si calcoli il volume di W.

   svolgimento

4. Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è uguale al numero delle combinazioni degli stessi oggetti a 3 a 3. Si trovi n.

   svolgimento

5. In una delle sue opere G. Galilei fa porre a Salviati, uno dei personaggi, la seguente questione riguardante l'insieme N dei numeri naturali ("i numeri tutti"). Dice Salviati: «... se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, esser più che i quadrati soli, dirò proposizione verissima: non è così?». Come si può rispondere all'interrogativo posto e con quali argomentazioni?

   svolgimento

6. Di tutti i coni inscritti in una sfera di raggio 10 cm, qual è quello di superficie laterale massima?

   svolgimento

7. Un test d'esame consta di dieci domande per ciascuna delle quali si deve scegliere l'unica risposta corretta fra quattro alternative. Qual è la probabilità che, rispondendo a caso alle dieci domande, almeno due risposte risultino corrette?

   svolgimento

8. In che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Perché è citato così spesso?

   svolgimento

9. Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell'ipotenusa.

   svolgimento

10.  

    Nella figura a lato, denotati con I, II e III, sono disegnati tre grafici. Uno di essi è il grafico di una funzione f, un altro lo è della funzione derivata f' e l'altro ancora di f''. Quale delle seguenti alternative identifica correttamente ciascuno dei tre grafici? Si motivi la risposta.

    svolgimento

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Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito soltanto l’uso della calcolatrice non programmabile.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.