Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.
Una funzione f(x) è definita e derivabile, insieme alle sue derivate prima e seconda, in [0,+∞[ e nella figura sono disegnati i grafici Γ e Λ di f(x) e della sua derivata seconda f''(x). La tangente a Γ nel suo punto di flesso, di coordinate (2;4), passa per (0;0), mentre le rette y=8 e y=0 sono asintoti orizzontali per Γ e Λ, rispettivamente.
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Sia f la funzione definita per tutti gli x positivi da .
Un triangolo ha area 3 e due lati che misurano 2 e 3. Qual è la misura del terzo lato? Si giustifichi la risposta.
Se la funzione ha derivata 5 in x = 1 e derivata 7 in x = 2, qual è la derivata di in x = 1?
Si considerino, nel piano cartesiano, i punti A(2;-1) e B (-6;-8). Si determini l'equazione della retta passante per B e avente distanza massima da A
Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l'altezza h e i lati a e b delle due basi. Si esprima il volume V del tronco in funzione di a, b e h, illustrando il ragionamento seguito.
In un libro si legge: "se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura un corpo si allunga (in tutte le direzioni) di una certa percentuale (p.es. 0,38%), esso si accresce in volume in proporzione tripla (cioè dell'1,14%), mentre la sua superficie si accresce in proporzione doppia (cioè di 0,76%)". È così? Si motivi esaurientemente la risposta
Con le cifre da 1 a 7 è possibile formare 7!=5040 numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Ad esempio i numeri 1234567 e 3546712 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 5040 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero che occupa la 5036-esima posizione e quale quello che occupa la 1441-esima posizione?
In un gruppo di 10 persone il 60% ha occhi azzurri. Dal gruppo si selezionano a caso due persone. Quale è la probabilità che nessuna di esse abbia occhi azzurri?
Si mostri, senza utilizzare il teorema di l'Hôpital, che:
Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma che sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanti gli irrazionali. Paolo sostiene che gli irrazionali costituiscono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri reali sono razionali. Luisa afferma, invece, il contrario: sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti, ma esistono più numeri irrazionali che razionali. Chi ha ragione? Si motivi esaurientemente la risposta.
Si stabilisca per quali valori k∈R l'equazione ammette due soluzioni distinte appartenenti all'intervallo [0,3]. Posto k=3, si approssimi con due cifre decimali la maggiore di tali soluzioni, applicando uno dei metodi iterativi studiati.
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dettatura del tema.