(Testo valevole anche per la corrispondente sperimentazione quadriennale)
Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.
L'amministratore di un piccolo condominio deve installare un nuovo serbatoio per il gasolio da riscaldamento. Non essendo soddisfatto dei modelli esistenti in commercio, ti incarica di progettarne uno che risponda alle esigenze del condominio. Allo scopo di darti le necessarie informazioni, l'amministratore ti fornisce il disegno in figura 1, aggiungendo le seguenti indicazioni:
Quando consegni il tuo progetto, l'amministratore obietta che essendo il serbatoio alto un metro, il valore z del livello di gasolio, espresso in centimetri, deve corrispondere alla percentuale di riempimento: cioè, ad esempio, se il gasolio raggiunge un livello z pari a 50 cm vuol dire che il serbatoio è pieno al 50%; invece il tuo indicatore riporta, in corrispondenza del livello 50 cm, una percentuale di riempimento 59,7%.
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Nella figura 1 è rappresentato il grafico Γ della funzione continua , derivabile in ]0, +∞), e sono indicate le coordinate di alcuni suoi punti. È noto che Γ è tangente all'asse y in A, che B ed E sono un punto di massimo e uno di minimo, che C è un punto di flesso con tangente di equazione . Nel punto D la retta tangente ha equazione e per il grafico consiste in una semiretta passante per il punto G. Si sa inoltre che l'area della regione delimitata dall'arco ABCD, dall'asse x e dall'asse y vale 11, mentre l'area della regione delimitata dall'arco DEF e dall'asse x vale 1.
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È noto che
Stabilire se il numero reale u, tale che
è positivo oppure negativo. Determinare inoltre i valori dei seguenti integrali, motivando le risposte:
Data una parabola di equazione
si vogliono inscrivere dei rettangoli, con un lato sull'asse x, nel segmento parabolico delimitato dall'asse x. Determinare a in modo tale che il rettangolo di area massima sia anche il rettangolo di perimetro massimo.
Un recipiente sferico con raggio interno r è riempito con un liquido fino all'altezza h. Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare che il volume del liquido è dato da: .
Un test è costituito da 10 domande a risposta multipla, con 4 possibili risposte di cui solo una è esatta. Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a 8 domande. Qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle domande?
Una sfera, il cui centro è il punto K(-2, -1, 2), è tangente al piano Π avente equazione . Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della sfera?
Si stabilisca se la seguente affermazione è vera o falsa, giustificando la risposta: "Esiste un polinomio P(x) tale che: ".
Una pedina è collocata nella casella in basso a sinistra di una scacchiera, come in figura. Ad ogni mossa, la pedina può essere spostata o nella casella alla sua destra o nella casella sopra di essa. Scelto casualmente un percorso di 14 mosse che porti la pedina nella casella d'angolo opposta A, qual è la probabilità che essa passi per la casella indicata con B?
Data la funzione f(x) definita in , , individuare la primitiva di f(x) il cui grafico passa per il punto (1, 2e).
Date le rette:
e il punto P(1, 0, -2) determinare l'equazione del piano passante per P e parallelo alle due rette.
Sia f la funzione così definita nell'intervallo ]1, +∞):
Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di f nel suo punto di ascissa .
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Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito l’uso della calcolatrice non programmabile.
È consentito l’uso del dizionario bilingue (italiano-lingua del paese di provenienza) per i candidati di madrelingua non italiana.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla
dettatura del tema.