Preparazione all'esame scritto di Matematica - 2007

Liceo Scientifico - P.N.I.

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Problema 1

Nel piano cartesiano ortogonale Oxy la curva γ ha equazione .

1. Studiare la funzione y(x) e disegnare γ indicando con A e B rispettivamente i punti in cui essa tocca l'asse delle ordinate e l'asse delle ascisse.
2. Verificare che per ogni punto di γ la distanza dalla bisettrice del secondo e quarto quadrante è uguale alla sua distanza dal punto F(2;2).
3. Scrivere l'equazione di γ nel sistema di riferimento cartesiano OXY con origine in O e assi ruotati di -45° rispetto a quelli originari.
4. Calcolare l'area del segmento parabolico delimitato dalla corda AB.

Svolgimento

Problema 2

Data nel piano cartesiano ortogonale Oxy la semicirconferenza γ con centro in O, raggio 1, e diametro AB e un punto P situato sull'asse delle ascisse:

• se P è esterno ad AB si tracci la tangente da P a γ e sia T il punto di tangenza;
• se P appartiene ad AB si tracci la perpendicolare ad AB per P e sia T il punto di intersezione di tale perpendicolare con γ.

1. Dimostrare che la funzione d(x) che esprime in tutti i casi la lunghezza d del segmento PT in funzione dell'ascissa x di P è .
2. Disegnare il grafico δ di d(x) classificando in particolare i punti di non derivabilità.
3. Tracciata la retta τ di equazione , calcolare le aree delle regioni delimitate da δ e τ.
4. Calcolare i volumi delle figure generate da una rotazione completa di queste regioni attorno all'asse delle ascisse.

Svolgimento

Quesiti

1. Un ellisse di eccentricità è equivalente a una circonferenza di raggio . Determinarne l'equazione in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine nel suo centro e con asse delle ascisse sovrapposto al suo asse maggiore.

Svolgimento

2. Un tetraedro regolare è inscritto in una sfera di raggio r. Calcolare il rapporto tra il volume della sfera e quello del tetraedro.

Svolgimento

3. Una funzione reale di variabile reale f(x), con dominio D e derivabile almeno due volte su tutto D, è tale che . Dimostrare che .

Svolgimento

4. Verificare graficamente che l'equazione ammette un'unica soluzione reale e approssimarne la soluzione a meno di un centesimo utilizzando un algoritmo numerico.

Svolgimento

5. Molti affermano che la più bella formula della matematica, dovuta a L.Euler (1707-1783), è l'identità . Perché questa formula è bella e perché è uguale a -1?

Svolgimento

6. L. Euler ha dimostrato che la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri naturali (ovviamente escluso 0) è . Programmare una funzione che produca i termini di una successione di razionali che converge a .

Svolgimento

7. In cosa consiste il Metodo di Montecarlo? Codificare in un linguaggio di programmazione noto una funzione che, usando tale metodo, stimi l'area dell'ellisse di semiassi a e b.

Svolgimento

8. Data la circonferenza γ di centro O e raggio di misura 2r si indichi con O' un punto di γ e si tracci la circonferenza δ con centro in O' e raggio di misura r. Detto A il punto in cui δ interseca il segmento OO' e B uno dei due punti di intersezione tra γ e δ, calcolare l'area del triangolo ABO'.

Svolgimento

9. In un liceo il 25% degli studenti frequenta la prima classe, il 20% la seconda, il 20% la terza, il 18% la quarta e il 17% la quinta. Frequentano le lezioni di religione l'80% degli studenti di prima, il 75% di quelli di seconda, il 78% di quelli di terza, il 72% di quelli di quarta e il 65% di quelli di quinta. Preso a caso uno studente che fa religione, che probabilità c'è che sia di quinta?

Svolgimento

10. Determinare lo sviluppo in serie di MacLaurin della funzione .

Svolgimento

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