Preparazione all'esame scritto di Matematica - 2009

Liceo Scientifico - P.N.I.

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Problema 1

1. Nel piano cartesiano Oxy determinare l'equazione del luogo Γ dei punti tali che la loro distanza dal punto F(9/4 ; 0) sia 4/5 della loro distanza dall'asse delle ordinate.
2. Disegnare Γ spiegando perché Γ è una ellisse.
3. Detto Δ l'elissoide che si ottiene ruotando Γ attorno all'asse delle ascisse, calcolare il volume massimo del cono circolare retto con base data da una sezione di Δ con un piano perpendicolare all'asse delle ascisse e vertice nel punto di Δ con ascissa minima.
4. Determinare il volume del toro che si ottiene facendo ruotare Γ attorno all'asse delle ordinate.

Svolgimento

Problema 2

1. Determinare l'insieme dei valori del parametro k per cui l'equazione ammette due soluzioni distinte.
2. Considerata l'equazione approssimare a meno di un centesimo la sua soluzione diversa da 2.
3. Tracciare il grafico Φ della funzione e identificare con A il punto in cui Φ interseca l'asse delle ordinate e con B e C i punti in cui Φ interseca l'asse delle ascisse (x_B<x_C).
4. Calcolare l'area della regione delimitata da Φ e dalla retta per A e C.

Svolgimento

Quesiti

1. Determinare per quale valore di a si ha .

Svolgimento

2. Enunciare il principio di induzione matematica e applicare tale principio nella dimostrazione dell'identità

Svolgimento

3. Determinare il codominio della funzione .

Svolgimento

4. Dimostrare che il numero decimale periodico è uguale a 1.

Svolgimento

5. In un triangolo isoscele τ, con base di misura b = 1m, gli angoli alla base sono doppi dell'angolo al vertice. Calcolare l'area del cerchio inscritto in τ.

Svolgimento

6. Dimostrare che se una funzione reale di variabile reale f(x), continua ma non derivabile per x=0, è pari e non è costante in qualunque intorno di 0, allora f(x) ammette un estremo relativo per x = 0.

Si proponga un esempio di funzione non costante, pari, continua in 0 ma non derivabile in tale punto.

Svolgimento

7. Un cono è generato dalla rotazione di un triangolo equilatero attorno a una sua altezza. Calcolare il rapporto tra il volumi della sfera circoscritta al cono e quello della sfera inscritta nel cono.

Svolgimento

8. Esprimere in base due il valore della seguente espressione

Svolgimento

9. Una particella, che si muove su una traiettoria rettilinea, nell'istante iniziale t₀=0s è ferma nell'origine O del sistema di riferimento. La particella è sottoposta ad una accelerazione istantanea espressa in unità S.I. da

Calcolare la posizione della particella al tempo t₁=2s.

Svolgimento

10. Proporre un metodo numerico di approssimazione del coseno iperbolico di 1.

Svolgimento

• Problemi 1 2

• quesiti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10