Preparazione all'esame scritto di Matematica - 2010

Liceo Scientifico - P.N.I.

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Problema 1

È data la funzione .

1. Dopo averne determinato il dominio di realtà, provare che per x = 0 non esiste la derivata sinistra di f.
2. Provare che .
3. Tracciare il grafico della funzione nell'intervallo [-4; 0].
4. Scrivere l'equazione della tangente alla curva nel punto di ascissa .
5. Sia φ(x) la funzione espressa da nell'intervallo [-1; 0] e nulla al di fuori di questo intervallo. Dire per quale valore di k la funzione φ(x) può essere considerata una densità di probabilità.

Svolgimento

Problema 2

Sull'asse del segmento AB di lunghezza 1, si prenda un punto O, si tracci la circonferenza di centro O e passante per A e per B e di indichi con C la proiezione di B sulla retta AO.

1. Esprimere la somma in funzione dell'angolo .
2. Si studi la funzione nel suo dominio naturale (senza i limiti geometrici del problema).
3. Disegnare la curva rappresentativa di .
4. Si determini il valore minimo di tale funzione nell'intervallo geometrico e il valor medio di tale funzione nell'intervallo .
5. Verificare che l'equazione ammette zeri nell'intervallo ed approssimarne almeno uno.

Svolgimento

Quesiti

1. Per ogni x ∈ R la funzione reale f(x) è doppia della sua derivata. Sapendo che f(0)=1, determinarne l'espressione.

Svolgimento

2. Il punto P appartiene alla curva dell'esponenziale naturale e il punto Q alla curva del logaritmo naturale. Qual è la minima distanza tra P e Q?

Svolgimento

3. Dato il triangolo equilatero t₁ di lato , si costruisca il triangolo t₂ con vertici nei punti medi di t₁, quindi il triangolo t₃ con vertici nei punti medi di t₂ e si continui così all'infinito. Quanto vale la somma dei perimetri di tutti i triangoli?

Svolgimento

4. Approssimare a meno di un centesimo la soluzione diversa da 0 dell'equazione

Svolgimento

5. Considerare nel piano cartesiano ortogonale Oxy la regione delimitata dal diagramma della funzione nell'intervallo [0; π] e dall'asse delle ascisse. Qual'è la posizione del baricentro di tale regione?

Svolgimento

6. Disegnare nel piano cartesiano ortogonale Oxy la curva grafico della funzione e calcolare l'area delimitata da tale curva, dall'asse delle ascisse e dalla retta di equazione x=1.

Svolgimento

7. Enunciare il principio di induzione matematica e, applicando tale principio, dimostrare che, se d è un numero reale non minore di 1, allora per ogni n naturale non minore di 1 vale la seguente disuguaglianza (nota come disuguaglianza di Bernoulli)

Svolgimento

8. In un seggio elettorale composto da 600 donne e 400 uomini si possono votare le liste A, B e C. Le probabilità che una donna voti una delle tre liste sono, nell'ordine 50%, 30%, 20% mentre le corrispondenti probabilità per gli uomini sono 55%, 35%, 10%. Gli scrutatori, aprendo una scheda, vedono votata la lista A. Qual è la probabilità che la scheda sia stata votata da una donna?

Svolgimento

9. Una particella, che si muove su una traiettoria rettilinea, nell'istante iniziale t₀=0s è ferma nell'origine O del sistema di riferimento. La particella è sottoposta ad una accelerazione istantanea espressa in unità S.I. da

Calcolare la posizione della particella al tempo t₁=1s.

Svolgimento

10. Spiegare in cosa consiste il Metodo di Montecarlo e illustrare come può essere usato per approssimare l'area delimitata nel piano cartesiano ortogonale Oxy dal diagramma della funzione nell'intervallo [-π/2 ; π/2] e dall'asse delle ascisse.

Svolgimento

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