Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
PIANO NAZIONALE INFORMATICA
CORSO SPERIMENTALE

 

Tema di MATEMATICA

La prova consiste nello svolgimento di due soli quesiti, scelti tra quelli proposti.

 

  1. In un piano riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali Oxy è data la parabola γ di equazione

    fig. 1

    Siano A un punto dell'asse x di ascissa λ, con λ>0, B il suo simmetrico rispetto ad O, e A' e B' i punti della parabola le cui proiezioni ortogonali sull'asse x sono rispettivamente A e B.

    Il candidato

    1. verifichi che le tangenti a e b alla parabola γ, rispettivamente in A' e B', si incontrano in un punto E dell'asse y;

    2. detti C e D i rispettivi punti di intersezione di a e b con l'asse x, esprima in funzione di λ l'area s del triangolo CED;

    3. studi la funzione s(λ) e tracci, in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali O'λs, la curva C di equazione s(λ);

    4. detto λo il valore di λ per cui s assume valore minimo relativo, e detti ao e bo le posizioni di a e b per detto valore, calcoli l'area della regione finita del semipiano di equazione y ≤ 0, compresa tra γ, ao e bo;

    5. osservato che, nell'ipotesi posta di λ > 1, esistono due valori λ1 e λ2 con λ1 < λ2, per cui il triangolo CED è equivalente al quadrato di lato OA, descriva una procedura che consenta di calcolare i valor approssimati di λ1 con un'approssimazione di 10-n e la codifichi in un linguaggio di programmazione conosciuto.

    svolgimento

     

     

  2. In un piano α è assegnato il triangolo ABC, retto in B, i cui cateti AB e AC misurano rispettivamente 4 e 3.
    Si conduca per il punto A la perpendicolare al piano α e sia V un punto di questa per cui VA=AB.
    Il candidato:

    1. dimostri geometricamente o algebricamente che, come tutte le altre facce del tetraedro VABC, anche la faccia VBC è un triangolo rettangolo il cui angolo retto è VBC;

    2. calcoli il volume e la superficie del tetraedro;

    3. detto M il punto medio di VA e P un punto dello stesso segmento a distanza x da V, esprima in funzione di x il volume v del tetraedro MPQR, essendo Q e R le rispettive intersezioni degli spigoli VB e VC con il piano β parallelo ad α e passante per P;

    4. studi come varia v al variare di P sul segmento VA, determinando in particolare la posizione P¯ di P in cui il volume v assume il valore massimo assoluto;

    5. detto D il punto medio di VB ed E il punto di AC tale che AE=AB, determini la posizione P* di P che rende minima la somma DP+PE (si consiglia di far ruotare il triangolo VAB attorno ad AV fino a portarlo sul piano del triangolo VAE, simmetricamente a quest'ultimo, e considerare la somma D'P+PE, essendo D' il corrispondente di D nella suddetta rotazione).;

    svolgimento

     

     

  3. In un piano riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali Oxy sono dati i punti P(x,y), A(x',y'), B(x'',y''), P'(X,Y), legati dalle seguenti relazioni:

    fig. 2

    Il candidato,

    1. dica la natura delle trasformazioni T1, T2, T3 rappresentate rispettivamente dalle predette equazioni;

    2. determini la trasformazione T che fa passare da P a P';

    3. studi la trasformazione T enunciandone le proprietà e determinandone, in particolare, gli eventuali elementi uniti;

    4. consideri i punti

      fig. 3

      e detti γ la circonferenza per tali punti, α la retta CD, γ' e α' i trasformati di γ ed α mediante T, determini l'area della regione finita di piano delimitata da γ' ed α';

    5. determini il perimetro delle stesse regioni.

    svolgimento

Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito l’uso della calcolatrice scientifica non grafica.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.