Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO SPERIMENTALE-P.N.I.

 

Tema di MATEMATICA

 

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

Nel piano sono dati: il cerchio γ di diametro OA = a, la retta t tangente a γ in A, una retta r passante per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con γ, il punto C intersezione di r con t.
La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t s'intersecano in P. Al variare di r, P descrive il luogo geometrico Γ noto con il nome di versiera di Agnesi [da Maria Gaetana Agnesi, matematica milanese, (1718-1799)].

  1. Si provi che valgono le seguenti proporzioni:

    fig001

    ove D è la proiezione ortogonale di B su OA;

  2. Si verifichi che, con una opportuna scelta del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche Oxy, l'equazione cartesiana di Γ è:

    fig002

  3. Si tracci il grafico di Γ e si provi che l'area compresa fra Γ il suo asintoto è quattro volte quella del cerchio γ.

 

svolgimento

 

PROBLEMA 2

Sia

fig003

con a,b,c numeri reali. Si determinino a,b,c in modo che:

    1. la funzione f sia pari;
    2. f(0)=2;

    3. fig004

  2. Si studi la funzione g ottenuta sostituendo ad a,b,c i valori così determinati e se ne disegni il grafico G.
  3. Si consideri la retta r di equazione y=4 e si determinino, approssimativamente, le ascisse dei punti in cui essa interseca G, mettendo in atto un procedimento iterativo a scelta.
  4. Si calcoli l'area della regione finita del piano racchiusa tra r e G.
  5. Si calcoli fig005.
  6. Si determini la funzione g ' il cui grafico è simmetrico di G rispetto alla retta r.

 

svolgimento

 

QUESTIONARIO

 

  1. Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 18 squadre?

    svolgimento

     

  2. Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose.
    A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne contiene 1000 con il 10% difettose.
    Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada. Quale è la probabilità che essa sia difettosa?

    svolgimento

     

  3. Quale è la capacità massima, espressa in centilitri, di un cono di apotema 2 dm?

    svolgimento

     

  4. Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y=2 quattro volte.

    svolgimento

     

  5. Dimostrare, usando il teorema di Rolle [da Michel Rolle, matematico francese, (1652-1719)], che se l'equazione:

    fig006

    ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell'equazione:

    fig007

    svolgimento

     

  6. Si vuole che l'equazione x3 + bx - 7 = O abbia tre radici reali. Quale è un possibile valore di b?

    svolgimento

     

  7. Verificare l'uguaglianza

    fig008

    e utilizzarla per calcolare un'approssimazione di π, applicando un metodo di integrazione numerica.

    svolgimento

     

  8. Dare un esempio di solido il cui volume è dato da fig009

    svolgimento

     

  9. Di una funzione f(x) si sa che ha derivata seconda uguale a sen x e che f ' (O) = 1.
    Quanto vale fig010?

    svolgimento

     

  10. Verificare che l'equazione x3 -3 x + l = O ammette tre radici reali. Di una di esse, quella compresa tra O e 1, se ne calcoli (sic!) un'approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

    svolgimento

     

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Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito l'uso della calcolatrice tascabile non programmabile e la consultazione del vocabolario di italiano.
Non è consentito lasciare l'Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.