Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO SPERIMENTALE
PIANO NAZIONALE INFORMATICA

 

Tema di MATEMATICA

 

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.


PROBLEMA 1


 

Sia a un numero reale maggiore di zero e sia g la funzione, definita per ogni x ∈ R, da: Eqn001.gif

1. Si dimostri che, se a ≠ 1, g è strettamente decrescente per x < 0.

2. Posto a = e, si disegni il grafico della funzione Eqn002.gif e si disegni altresì il grafico della funzione Eqn003.gif.

3. Si calcoli Eqn004.gif; successivamente, se ne trovi il limite per t → ∞ e si interpreti geometricamente il risultato.

4. Verificato che il risultato del limite di cui al punto precedente è Eqn005.gif, si illustri una procedura numerica che consenta di approssimare tale valore.

svolgimento

 


PROBLEMA 2


Si considerino i triangoli la cui base è AB=1 e il cui vertice C varia in modo che l'angolo Eqn006.gif si mantenga doppio dell'angolo Eqn007.gif.

1. Riferito il piano ad un conveniente sistema di coordinate, si determini l'equazione del luogo geometrico γ descritto da C.

2. Si rappresenti γ, tenendo conto, ovviamente, delle prescritte condizioni geometriche.

3. Si determini l'ampiezza dell'angolo Eqn007.gif che rende massima la somma dei quadrati delle altezze relative ai lati AC e BC e, con l'aiuto di una calcolatrice, se ne dia un valore approssimato in gradi e primi (sessagesimali).

4. Si provi che se Eqn008.gif allora è Eqn009.gif.

svolgimento

 


QUESTIONARIO


 

  1. Si spieghi in che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio e se, e in che senso, si tratti di un problema risolubile o meno.

    svolgimento

  2. La regione di piano racchiusa tra il grafico della funzione Eqn010.gif e l'asse x, con Eqn011.gif, è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all'asse x, sono tutte rettangoli aventi l'altezza tripla della base. Si calcoli il volume di S e se ne dia un valore approssimato a meno di 10-2.

    svolgimento

  3. Si dimostri che l'insieme delle omotetie con centro O fissato è un gruppo.

    svolgimento

  4. Si consideri la funzione

    Eqn012.gif

    Se ne spieghi l'importanza nelle applicazioni della matematica illustrando il significato di Eqn013.gif e come tali parametri influenzino il grafico di f(x).

    svolgimento

  5. Si consideri il teorema: «la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto» e si spieghi perché esso non è valido in un contesto di geometria non-euclidea. Quali le formulazioni nella geometria iperbolica e in quella ellittica. Si accompagni la spiegazione con il disegno.

    svolgimento

  6. Si scelga a caso un punto P all'interno di un triangolo equilatero il cui lato ha lunghezza 3. Si determini la probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1.

    svolgimento

  7. Si determini l'equazione del luogo geometrico dei centri delle circonferenze del piano tangenti alla parabola Eqn014.gif nel punto (1,2).

    svolgimento

  8. A Leonardo Eulero di cui quest'ano ricorre il terzo centenario della nascita, si deve il seguente problema: «Tre gentiluomini giocano insieme: nella prima partita il primo perde, a favore degli altri due, tanto denaro quanto ne possiede ciascuno di loro. Nella successiva, il secondo gentiluomo perde, a favore di ciascuno degli altri due tanto denaro quanto essi già ne possiedono. Da ultimo, nella terza partita, il primo e il secondo guadagnano ciascuno dal terzo gentiluomo tanto denaro quanto essi ne avevano prima. A questo punto smettono e trovano che ciascuno ha la stessa somma, cioè 24 luigi. Si domanda con quanto denaro ciascuno si sedette a giocare».

    svolgimento

  9. Si dimostri che l'equazione Eqn015.gif ha un'unica radice reale e si trovi il suo valore con una precisione di due cifre significative.

    svolgimento

  10. Per orientarsi sulla Terra si fa riferimento a meridiani e paralleli, a latitudini e a longitudini. Supponendo che la Terra sia una sfera S e che l'asse di rotazione terrestre sia una retta r passante per il centro di S, come si può procedere per definire in termini geometrici meridiani e paralleli e introdurre un sistema di coordinate geografiche terrestri?

    svolgimento

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Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile e la consultazione del vocabolario di italiano.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.