Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.
Sia a un numero reale maggiore di zero e sia g la funzione, definita per ogni
x ∈ R, da:
1. Si dimostri che, se a ≠ 1, g è strettamente decrescente per x < 0.
2. Posto a = e, si disegni il grafico della funzione
e si disegni
altresì il grafico della funzione
.
3. Si calcoli
;
successivamente, se ne trovi il limite per t → ∞ e si interpreti geometricamente
il risultato.
4. Verificato che il risultato del limite di cui al punto precedente è
, si illustri
una procedura numerica che consenta di approssimare tale valore.
Si considerino i triangoli la cui base è AB=1 e il cui vertice C varia
in modo che l'angolo
si
mantenga doppio dell'angolo
.
1. Riferito il piano ad un conveniente sistema di coordinate, si determini l'equazione del luogo geometrico γ descritto da C.
2. Si rappresenti γ, tenendo conto, ovviamente, delle prescritte condizioni geometriche.
3. Si determini l'ampiezza dell'angolo
che
rende massima la somma dei quadrati delle altezze relative ai lati AC e BC e,
con l'aiuto di una calcolatrice, se ne dia un valore approssimato in gradi e primi
(sessagesimali).
4. Si provi che se
allora è
.
Si spieghi in che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio e se, e in che senso, si tratti di un problema risolubile o meno.
La regione di piano racchiusa tra il grafico della funzione
e
l'asse x, con
, è la base di un solido
S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all'asse x, sono tutte
rettangoli aventi l'altezza tripla della base. Si calcoli il volume di S e se ne dia un
valore approssimato a meno di 10-2.
Si dimostri che l'insieme delle omotetie con centro O fissato è un gruppo.
Si consideri la funzione
Se ne spieghi l'importanza nelle applicazioni della matematica illustrando il
significato di
e come
tali parametri influenzino il grafico di f(x).
Si consideri il teorema: «la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto» e si spieghi perché esso non è valido in un contesto di geometria non-euclidea. Quali le formulazioni nella geometria iperbolica e in quella ellittica. Si accompagni la spiegazione con il disegno.
Si scelga a caso un punto P all'interno di un triangolo equilatero il cui lato ha lunghezza 3. Si determini la probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1.
Si determini l'equazione del luogo geometrico dei centri delle circonferenze del piano
tangenti alla parabola
nel punto (1,2).
A Leonardo Eulero di cui quest'ano ricorre il terzo centenario della nascita, si deve il seguente problema: «Tre gentiluomini giocano insieme: nella prima partita il primo perde, a favore degli altri due, tanto denaro quanto ne possiede ciascuno di loro. Nella successiva, il secondo gentiluomo perde, a favore di ciascuno degli altri due tanto denaro quanto essi già ne possiedono. Da ultimo, nella terza partita, il primo e il secondo guadagnano ciascuno dal terzo gentiluomo tanto denaro quanto essi ne avevano prima. A questo punto smettono e trovano che ciascuno ha la stessa somma, cioè 24 luigi. Si domanda con quanto denaro ciascuno si sedette a giocare».
Si dimostri che l'equazione
ha un'unica radice reale e si trovi il suo valore con una precisione di due cifre
significative.
Per orientarsi sulla Terra si fa riferimento a meridiani e paralleli, a latitudini e a longitudini. Supponendo che la Terra sia una sfera S e che l'asse di rotazione terrestre sia una retta r passante per il centro di S, come si può procedere per definire in termini geometrici meridiani e paralleli e introdurre un sistema di coordinate geografiche terrestri?
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Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile e la
consultazione del vocabolario di italiano.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla
dettatura del tema.