Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO SPERIMENTALE
Indirizzo: PIANO NAZIONALE INFORMATICA

 

Tema di MATEMATICA

 

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.


PROBLEMA 1


 

Sia f la funzione definita da

Eqn001.gif

dove n è un intero positivo e xR.

  1. Si verifiche che la derivata di f(x) è: Eqn002.gif
  2. Si dica se la funzione f ammette massimi e minimi (assoluti e relativi) e si provi che, quando n è dispari, Eqn003.gif per ogni x reale.
  3. Si studi la funzione g ottenuta da f quando n = 2 e se ne disegni il grafico.
  4. Si calcoli Eqn004.gif e se ne dia l'interpretazione geometrica.

svolgimento

 


PROBLEMA 2


In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy, si consideri la funzione Eqn005.gif definita da Eqn006.gif, con k parametro reale.

  1. Si dica come varia il grafico di f al variare di k (k positivo, negativo o nullo).
  2. Sia Eqn007.gif e γ il suo grafico. Si dimostri che γ e la retta di equazione Eqn008.gif hanno un solo punto P in comune. Si determini l'ascissa di P approssimandola a meno di 0,1 con un metodo iterativo di calcolo.
  3. Sia D la regione finita del primo quadrante delimitata da γ e dal grafico della funzione inversa di g. Si calcoli l'area di D.
  4. La regione D è la base di un solido W le cui sezioni con i piani perpendicolari alla bisettrice del primo quadrante sono tutte rettangoli di altezza 12. Si determini la sezione di area massima. Si calcoli il volume di W.

svolgimento

 


QUESTIONARIO


 

  1. Siano Eqn009.gif e Eqn010.gif. Si provi che Eqn011.gif

    svolgimento

  2. Sono dati gli insiemi Eqn012.gif e Eqn013.gif. Tra le possibili funzioni (o applicazioni) di A in B, ce ne sono di suriettive? Di iniettive?. Di biiettive?

    svolgimento

  3. Una moneta da 2 euro (il suo diametro è 25,75 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle quadrate di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire internamente ad una mattonella? (cioè non tagli i lati dei quadrati)

    svolgimento

  4. "Esiste solo un poliedro regolare la cui facce sono esagoni". Si dica se questa affermazione è vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta.

    svolgimento

  5. Si considerino le seguenti espressioni:

    Eqn014.gif

    A quali di esse è possibile attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta.

    svolgimento

  6. Con l'aiuto di una calcolatrice, si applichi il procedimento iterativo di Newton all'equazione Eqn015.gif, con punto iniziale Eqn016.gif. Cosa si ottiene dopo due iterazioni?

    svolgimento

  7. Si dimostri l'identità Eqn017.gif con n e k naturali e n > k.

    svolgimento

  8. Alla festa di compleanno di Anna l'età media dei partecipanti è di 22 anni. Se l'età media degli uomini è 26 anni e quella delle donne è 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne?

    svolgimento

  9.  

    fig001.gif Nei "Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze", Galileo Galilei descrive la costruzione di un solido che chiama scodella considerando una semisfera di raggio r e il cilindro ad essa circoscritto. La scodella si ottiene togliendo la semisfera dal cilindro. Si dimostri, utilizzando il principio di Cavalieri, che la scodella ha volume pari al cono di vertice V in figura.

    svolgimento

  10.  

    "Se due punti P e Q del piano giacciono dalla stessa parte rispetto ad una retta AB e gli angoli Eqn018.gif hanno somma minore di 180°, allora le semirette AP e BQ, prolungate adeguatamente al di là dei punti P e Q, si devono intersecare.". Questa proposizione è stata per secoli oggetto di studio da parte di schiere di matematici. Si dica perché e con quali risultati. fig002.gif

    svolgimento

_______________________________________________________________

Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito soltanto l’uso della calcolatrice non programmabile.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.