Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.
Della funzione f, definita per 0≤x≤6, si sa che è dotata di derivata prima e seconda e che il grafico della sua derivata f'(x), disegnato a lato, presenta due tangenti orizzontali per x=2 e x=4. Si sa anche che f(0)=9, f(3)=6 e f(5)=3.
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Siano f e g le funzioni definite da e .
Si calcoli
Una moneta da 1 euro (il suo diametro è 23,25mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle esagonali (regolari) di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati degli esagoni)?
Sia . Per quale valore di x, approssimato a meno di , la pendenza della retta tangente alla curva nel punto è uguale a 1?
L'insieme dei numeri naturali e l'insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta.
Siano dati nello spazio n punti P1, P2, P2,...,Pn. Quanti sono i segmenti che li congiungono due a due? Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)?
Si dimostri che la curva di equazione ha un sol punto di flesso rispetto a cui è simmetrica.
È dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si determini l'ampiezza dell'angolo α formato da l e da h.
Un'azienda industriale possiede tre stabilimenti (A, B e C). Nello stabilimento A si produce la metà dei pezzi, e di questi il 10% sono difettosi. Nello stabilimento B si produce un terzo dei pezzi, e il 7% sono difettosi. Nello stabilimento C si producono i pezzi rimanenti, e il 5% sono difettosi. Sapendo che un pezzo è difettoso, con quale probabilità esso proviene dallo stabilimento A?
Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.C.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r, nel determinare il cammino minimo che congiunge A e B toccando r. Si risolva il problema nel modo che si preferisce.
Si provi che fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una sfera di raggio r, quello di minima area laterale ha il vertice che dista dalla superficie della sfera.
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Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito soltanto l’uso della calcolatrice non programmabile.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla
dettatura del tema.