Ministero dell'Istruzione, dell'Università e della Ricerca
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO SPERIMENTALE
Indirizzo: PIANO NAZIONALE INFORMATICA

Tema di MATEMATICA

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

Della funzione f, definita per 0≤x≤6, si sa che è dotata di derivata prima e seconda e che il grafico della sua derivata f'(x), disegnato a lato, presenta due tangenti orizzontali per x=2 e x=4. Si sa anche che f(0)=9, f(3)=6 e f(5)=3. Si trovino le ascisse dei punti di flesso di f motivando le risposte in modo esauriente. Per quale valore di x la funzione f presenta il suo minimo assoluto? Sapendo che per quale valore di x la funzione f presenta il suo massimo assoluto? Sulla base delle informazioni note, quale andamento potrebbe avere il grafico di f?. Sia g la funzione definita da g(x)=xf(x). Si trovino le equazioni delle rette tangenti ai grafici di f e g nei rispettivi punti di ascissa x=3 e si determini la misura, in gradi e primi sessagesimali, dell'angolo acuto che esse formano.

svolgimento

PROBLEMA 2

Siano f e g le funzioni definite da e .

1. Fissato un riferimento cartesiano Oxy, si disegnino i grafici di f e di g e si calcoli l'area della regione R che essi delimitano tra e .
2. La regione R, ruotando attorno all'asse x, genera il solido S e, ruotando attorno all'asse y, il solido T. Si scrivano, spiegandone il perché, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi di S e di T.
3. Fissato , si considerino le rette r e s tangenti ai grafici di f e di g nei rispettivi punti di ascissa . Si dimostri che esiste un solo per il quale r e s sono parallele. Di tale valore si calcoli un'approssimazione arrotondata ai centesimi.
4. Sia . Per quali valori di x la funzione h(x) presenta, nell'intervallo chiuso , il minimo e il massimo assoluti? Si illustri il ragionamento seguito.

svolgimento

QUESTIONARIO

1. Si calcoli

   svolgimento

2. Una moneta da 1 euro (il suo diametro è 23,25mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle esagonali (regolari) di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati degli esagoni)?

   svolgimento

3. Sia . Per quale valore di x, approssimato a meno di , la pendenza della retta tangente alla curva nel punto è uguale a 1?

   svolgimento

4. L'insieme dei numeri naturali e l'insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta.

   svolgimento

5. Siano dati nello spazio n punti P₁, P₂, P₂,...,P_n. Quanti sono i segmenti che li congiungono due a due? Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)?

   svolgimento

6. Si dimostri che la curva di equazione ha un sol punto di flesso rispetto a cui è simmetrica.

   svolgimento

7. È dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si determini l'ampiezza dell'angolo α formato da l e da h.

   svolgimento

8. Un'azienda industriale possiede tre stabilimenti (A, B e C). Nello stabilimento A si produce la metà dei pezzi, e di questi il 10% sono difettosi. Nello stabilimento B si produce un terzo dei pezzi, e il 7% sono difettosi. Nello stabilimento C si producono i pezzi rimanenti, e il 5% sono difettosi. Sapendo che un pezzo è difettoso, con quale probabilità esso proviene dallo stabilimento A?

   svolgimento

9. Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.C.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r, nel determinare il cammino minimo che congiunge A e B toccando r. Si risolva il problema nel modo che si preferisce.

   svolgimento

10. Si provi che fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una sfera di raggio r, quello di minima area laterale ha il vertice che dista dalla superficie della sfera.

    svolgimento

_______________________________________________________________

Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito soltanto l’uso della calcolatrice non programmabile.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.