Ministero dell'Istruzione, dell'Università e della Ricerca
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO SPERIMENTALE
Indirizzo: PIANO NAZIONALE INFORMATICA

 

Tema di MATEMATICA

 

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.


PROBLEMA 1


 

Sia g(x) una funzione continua sull'intervallo chiuso [-4,6]. Il grafico di g(x), disegnato a lato, passa per i punti A(-4;0), O(0;0), B(2;2), C(4;2), D(6;0) e consiste della semicirconferenza di diametro AO, dell'arco, quarto di circonferenza, di estremi O e B, del segmento BC e dell'arco CD di una parabola avente per asse di simmetria l'asse x.

  1. Si dica, giustificando la risposta, se g(x) è derivabile nei punti A, O, B, C, D.
  2. Posto Eqn001.gif, si calcolino: f(-4), f(0), f(1), f(2), f(4), f(6).
  3. Per quali valori di Eqn002.gif, f(x) è positiva, negativa o nulla? E per quali x è positiva, negativa o nulla la funzione derivata seconda f''(x)?
  4. La funzione f(x) presenta un massimo e un minimo assoluti? Qual è l'andamento di f(x)?
fig001.png

svolgimento

 


PROBLEMA 2


Sia Eqn003.gif.

  1. A lato è disegnato il grafico Γ di f(x). Si dimostri che (2;0) è centro di simmetria di Γ e si calcoli, in gradi e primi sessagesimali, l'angolo che la tangente in esso a Γ forma con la direzione positiva dell'asse delle x.
  2. Si dimostri che, qualunque sia t, 0>t>2, le rette tangenti a Γ nei suoi punti di ascissa 2+t e 2-t sono parallele. Esistono rette tangenti a Γ che siano parallele alla retta Eqn004.gif? E che siano parallele alla retta Eqn005.gif?
  3. Si calcoli l'area della regione compresa tra Γ e l'asse delle x.
  4. Sia Eqn006.gif. Quanti sono i punti del grafico di h(x) di ordinata 1? Il grafico di h(x) presenta punti di minimo, assoluti o relativi? Per quali valori reali di k l'equazione h(x)=k ha 4 soluzioni distinte? Qual è il valore di Eqn007.gif
fig002.png

svolgimento

 


QUESTIONARIO


 

  1. Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α?

    fig003.png

    svolgimento

  2. Si spieghi perché non esistono poliedri regolari le cui facce siano esagoni.

    svolgimento

  3. Venti palline sono poste in un'urna. Cinque sono rosse, cinque verdi, cinque gialle e cinque bianche.. Dall'urna si estraggono a caso, senza reimbussolamento, tre palline. Si valutino le seguenti probabilità:

    svolgimento

  4. Un solido Ω ha per base la regione R delimitata dal grafico di Eqn008.gif e dall'asse x sull'intervallo [-2,1]. In ogni punti di R di ascissa x, l'altezza del solido è data da Eqn009.gif. Si calcoli il volume del solido.

    svolgimento

  5. In un contesto di geometria non euclidea si illustri un esempio di triangolo i cui angoli non hanno somma 180°.

    svolgimento

  6. Si calcolino l'altezza e il raggio del massimo cilindro circolare retto inscritto in una sfera di raggio Eqn010.gif

    svolgimento

  7. Se Eqn011.gif, per quale dei seguenti valori approssimati di x, f ha un minimo relativo?

    (A) 5,146       (B)3,146       (C) 1,000       (D) 0,159       (E) 0

    svolgimento

  8. La "zara" è un gioco d'azzardo di origine araba che conobbe particolare fortuna in Italia in epoca medievale - ne parla anche Dante nella Divina Commedia - e si giocava con tre dadi. Si confronti la probabilità di ottenere in un lancio la somma 9 con quella di ottenere la somma 10.

    svolgimento

  9. Le lettere N, Z, Q, R denotano, rispettivamente, gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali, e reale mentre il simbolo ℵ0 (aleph-zero) indica la cardinalità di N. Gli insiemi Z, Q, e R hanno anch'essi cardinalità ℵ0? Si motivi la risposta.

    svolgimento

  10. Si stabilisca per quali valori di a e b, si ha

    Eqn012.gif

    svolgimento

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Durata massima della prova: 6 ore.
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È consentito l’uso del dizionario bilingue (italiano-lingua del paese di provenienza) per i candidati di madrelingua non italiana.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.