Ministero dell'Istruzione, dell'Università e della Ricerca
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO SPERIMENTALE
Indirizzo: PIANO NAZIONALE INFORMATICA

Tema di MATEMATICA

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

Sia g(x) una funzione continua sull'intervallo chiuso [-4,6]. Il grafico di g(x), disegnato a lato, passa per i punti A(-4;0), O(0;0), B(2;2), C(4;2), D(6;0) e consiste della semicirconferenza di diametro AO, dell'arco, quarto di circonferenza, di estremi O e B, del segmento BC e dell'arco CD di una parabola avente per asse di simmetria l'asse x. Si dica, giustificando la risposta, se g(x) è derivabile nei punti A, O, B, C, D. Posto , si calcolino: f(-4), f(0), f(1), f(2), f(4), f(6). Per quali valori di , f(x) è positiva, negativa o nulla? E per quali x è positiva, negativa o nulla la funzione derivata seconda f''(x)? La funzione f(x) presenta un massimo e un minimo assoluti? Qual è l'andamento di f(x)?

svolgimento

PROBLEMA 2

Sia . A lato è disegnato il grafico Γ di f(x). Si dimostri che (2;0) è centro di simmetria di Γ e si calcoli, in gradi e primi sessagesimali, l'angolo che la tangente in esso a Γ forma con la direzione positiva dell'asse delle x. Si dimostri che, qualunque sia t, 0>t>2, le rette tangenti a Γ nei suoi punti di ascissa 2+t e 2-t sono parallele. Esistono rette tangenti a Γ che siano parallele alla retta ? E che siano parallele alla retta ? Si calcoli l'area della regione compresa tra Γ e l'asse delle x. Sia . Quanti sono i punti del grafico di h(x) di ordinata 1? Il grafico di h(x) presenta punti di minimo, assoluti o relativi? Per quali valori reali di k l'equazione h(x)=k ha 4 soluzioni distinte? Qual è il valore di

svolgimento

QUESTIONARIO

1. Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α?

   svolgimento

2. Si spieghi perché non esistono poliedri regolari le cui facce siano esagoni.

   svolgimento

3. Venti palline sono poste in un'urna. Cinque sono rosse, cinque verdi, cinque gialle e cinque bianche.. Dall'urna si estraggono a caso, senza reimbussolamento, tre palline. Si valutino le seguenti probabilità:

   • esattamente una pallina è rossa
   • le tre palline sono di colori differenti.

   svolgimento

4. Un solido Ω ha per base la regione R delimitata dal grafico di e dall'asse x sull'intervallo [-2,1]. In ogni punti di R di ascissa x, l'altezza del solido è data da . Si calcoli il volume del solido.

   svolgimento

5. In un contesto di geometria non euclidea si illustri un esempio di triangolo i cui angoli non hanno somma 180°.

   svolgimento

6. Si calcolino l'altezza e il raggio del massimo cilindro circolare retto inscritto in una sfera di raggio

   svolgimento

7. Se , per quale dei seguenti valori approssimati di x, f ha un minimo relativo?

   (A) 5,146       (B)3,146       (C) 1,000       (D) 0,159       (E) 0

   svolgimento

8. La "zara" è un gioco d'azzardo di origine araba che conobbe particolare fortuna in Italia in epoca medievale - ne parla anche Dante nella Divina Commedia - e si giocava con tre dadi. Si confronti la probabilità di ottenere in un lancio la somma 9 con quella di ottenere la somma 10.

   svolgimento

9. Le lettere N, Z, Q, R denotano, rispettivamente, gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali, e reale mentre il simbolo ℵ₀ (aleph-zero) indica la cardinalità di N. Gli insiemi Z, Q, e R hanno anch'essi cardinalità ℵ₀? Si motivi la risposta.

   svolgimento

10. Si stabilisca per quali valori di a e b, si ha

    

    svolgimento

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Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito l’uso della calcolatrice non programmabile.
È consentito l’uso del dizionario bilingue (italiano-lingua del paese di provenienza) per i candidati di madrelingua non italiana.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.