Sviluppi in serie

7. Sviluppi in serie

Le funzioni circolari e iperboliche, esponenziali e logaritmiche o le costanti reali π e e, non sarebbero molto utili se non se ne potessero calcolare i valori.

Deve essere comunque chiaro che, dato che si tratta di valori reali, diversamente dal caso dei numeri razionali, in generale non è possibile esprimere questi valori completamente, qualunque sia la base di rappresentazione numerica adottata (base dieci, base due, sedici o altre). In generale, calcolare un numero reale α significa trovare un algoritmo che genera una successione di numeri razionali a_i convergente a α. Quanto più cresce l'indice i, tanto più diminuisce la differenza tra l'ultimo a_i e il precedente. Nelle applicazioni pratiche è sufficiente spingere il processo fino al punto in cui il calcolo di un successivo a_i non produce vantaggi apprezzabili.

Probabilmente l'esempio più semplice ed immediato di una successione di questo tipo è la successione delle potenze con esponente naturale crescente i di un numero razionale x compreso tra -1 e +1. Quanto più i cresce, tanto più i termini x_i=xⁱ di questa successione si avvicinano a 0. Si può esprimere formalmente questo fatto dicendo che per qualunque numero razionale x, tale che |x|<1, per quanto piccolo si scelga un numero razionale positivo ε, si può trovare un esponente naturale positivo n_ε tale che, per ogni n maggiore di esso, .

Lo stesso concetto è espresso più immediatamente dalla seguente scrittura

che si legge: il limite di xⁿ, per n tendente a infinito, è 0.

Esempio.

Sia x = 0.5. La successione delle sue potenze naturali con esponente crescente è

x₀ = 0.5⁰ = 1
x₁ = 0.5¹ = 0.5
x₂ = 0.5² = 0.25
x₃ = 0.5³ = 0.125
x₄ = 0.5⁴ = 0.0625
x₅ = 0.5⁵ = 0.03125
x₆ = 0.5⁶ = 0.015625
x₇ = 0.5⁷ = 0.0078125
x₈ = 0.5⁸ = 0.00390625
x₉ = 0.5⁹ = 0.001953125
...

Se si pone ε=0.01, si vede che, a partire da n_ε=7, tutti i termini x_n successivi hanno valore assoluto minore di ε.

Se si considerasse un ε minore di 0.01, ad esempio 0.005, l'indice n_ε sarebbe 8, ma sarebbe sempre vero che tutti i termini x_n successivi hanno valore assoluto minore di ε.

Questo esempio può essere un buon punto di partenza per trovare altre utili successioni convergenti ai numeri reali generati dalle funzioni trascendenti.

Serie geometrica.

Si può facilmente verificare che, per ogni numero reale x diverso da 1,

e che

La somma in (7.2) è detta serie geometrica perché la successione dei suoi addendi è una successione geometrica, cioè il rapporto tra ogni termine della successione e il precedente è costante.

Il limite per n→∞ della serie è uguale al limite della frazione:

Se |x|<1, usando una notazione semplificata,

Dalla (7.3) si ha inoltre

Serie geometrica con WolframAlpha.

La serie di Mercatore.

La frazione è la derivata rispetto a x di ln(1+x).

Quindi, per |x|<1 e ricordando che ln1=0, si può viceversa dire che ln(1+x) è l'antiderivata della somma da cui

La (7.5) mostra che è possibile approssimare il logaritmo naturale nell'intervallo ]0;2[ e l'approssimazione sarà tanto migliore quanto più si aumenta il numero degli addendi della somma.

La somma (7.5) è detta serie di Mercatore. Questa serie ha un dominio di convergenza limitato e converge piuttosto lentamente, ma da essa si possono ricavare altre serie convergenti su tutto il dominio del logaritmo.

Infatti, dalla (7.5) si ottiene

Sottraendo membro a membro la (7.6) dalla (7.5) e ricordando le proprietà fondamentali dei logaritmi si ha

Ad esempio, per calcolare ln10

Serie logaritmiche con WolframAlpha.

Arcotangente iperbolica.

Dalla (7.7) si ha

Il primo membro della (7.8) è identico alla arcotangente iperbolica, quindi

Arcotangente circolare.

Dalla (7.4) si ha

Integrando entrambi i membri e ricordando che arctan(0)=0, si ha

Dalla (7.10), ricordando che , si ottiene un algoritmo per approssimare π

Questo metodo per approssimare π è conosciuto come serie di Leibniz.

Sviluppi in serie di arcotangenti con WolframAlpha.

Sviluppo in serie di MacLaurin.

Se si esamina la serie di Mercatore (7.5), si vede che i coefficienti c_n delle potenze xⁿ nella somma sono tali che , dove f⁽ⁿ⁾(0) rappresenta il valore della derivata n-esima della funzione per x=0 e n! è il fattoriale dell'indice n. Per poter applicare questa espressione di c_n anche quando n=0, si assume che f⁽⁰⁾(x) è la funzione medesima e che 0!=1.

Si potrebbe verificare che la stessa cosa vale per le funzioni arcotangente iperbolica e circolare (7.9) and (7.10) e, in generale, per qualunque altra funzione f(x) derivabile infinite volte, se la funzione e le sue derivate sono calcolabili per x=0. Infatti, da

si ottiene

In definitiva, per ogni funzione f(x) derivabile infinite volte, se la funzione e le sue derivate sono definite per x=0, si ha

La (7.13) è detta sviluppo in serie di MacLaurin

L'esponenziale naturale e le funzioni iperboliche dirette (seno e coseno).

Il più immediato sviluppo in serie che si può ottenere usando la (7.13) è quello della esponenziale naturale e^x per la quale tutte le derivate coincidono con la funzione stessa che per x=0 ha valore 1.