Preparazione all'esame scritto di Matematica

Svolgere uno dei temi proposti e rispondere a cinque quesiti.

Tema 1

Dato il fascio di curve di equazione

1. Dimostrare che tutte le curve di Φ ammettono un massimo assoluto M di ascissa x_M=1 e un flesso obliquo P di ascissa x_P=2.
2. Individuato il valore di k per cui il valore del massimo assoluto è 1 e, detta f(x) la funzione così ottenuta, disegnare il grafico di f(x).
3. La forza (con x espresso in metri e f(x) espresso Newton) sposta il suo punto di applicazione, inizialmente nell'origine O, lungo l'asse delle ascisse fino a distanza infinita da O. Calcolare il lavoro compiuto da tale forza.

4. Data la funzione φ(x) tale che

   

   1. stabilire quale valore deve essere assegnato al parametro k della Φ(x) perché φ(x) esprima la densità di una distribuzione continua di probabilità della variabile aleatoria x;
   2. calcolare la probabilità che la variabile x assuma valori compresi tra 0 e 1;
   3. calcolare la deviazione standard della distribuzione.
   
   
   

PROBLEMA 2

Un cono retto C ha altezza uguale al raggio di base r.

1. Detto C' il cono con vertice nel centro della base di C e base costituita da una sezione piana di C parallela alla sua base, rappresentare nel piano cartesiano Oxy la funzione y(x) che esprime la misura del volume di C' in funzione della sua altezza.
2. Calcolare il rapporto tra il valore medio y_m del volume di C' e il suo volume massimo y_M.
3. Calcolare il rapporto tra y_M e il volume V_S della sfera S inscritta nel cono C.
4. Considerando la regione del piano Oxy delimitata dal grafico di f(x) e dall'asse delle ascisse, calcolare il volume del solido generato dalla sua rotazione attorno all'asse delle ordinate determinando nel contempo l'ascissa del suo baricentro.

QUESITI

1. Si è rilevato un certo titolo di borsa da un giorno all'altro cambia il suo valore e che c'è una probabilità del 60% che se un giorno aumenta, aumenti anche il giorno dopo; se invece un giorno cala, c'è una probabilità del 70% che cali anche il giorno dopo. Oggi il titolo è aumentato. Qual è la probabilità che aumenti anche dopodomani?

2. Nel sistema di riferimento Oxy un quadrato ha vertici A(1;1), B(-1;1), C(-1;-1) e D(1;-1). Il quadrato viene ruotato di 30° in senso antiorario attorno al suo centro. Detta B' la nuova posizione di B, il quadrato viene successivamente traslato (senza ulteriori rotazioni) in modo che il suo centro si sposti in B'. Qual è la posizione finale A'' del vertice A?

3. Dimostrare che la serie è convergente e determinarne il limite.

4. Verificare graficamente che l'equazione ammette un'unica soluzione reale e approssimare tale soluzione a meno di un centesimo. Scrivere in un linguaggio di programmazione una funzione che approssimi a meno di un valore prefissato epsilon la soluzione dell'equazione per qualunque k reale positivo.

5. Calcolare il rapporto tra l'area del cerchio circoscritto ad un dodecagono regolare e l'area del dodecagono stesso.

6. Dimostrare che l'equazione ammette due soluzioni in R.

7. Data la funzione , definita nel suo dominio naturale, determinarne il codominio e descriverne l'andamento nell'intorno di 0 e all'infinito.

8. Si risolva l'equazione

9. Dopo aver dato una definizione di asintoto di una funzione, determinare gli asintoti della funzione

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10. Calcolare l'area della regione di R2 delimitata dall'asse delle ascisse e dalla curva

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