Le coniche

Appunti per i Licei Scientifici
(da Note Didattiche)


1. Definizioni

Dati in un piano una retta d e un punto F esterno a d e distante f da d, si dice conica l'insieme dei punti P del piano tali che, detta H la loro proiezione ortogonale su d, il rapporto PF/PH abbia valore costante e (e>0).

Eqn1.gif

La retta d è detta direttrice della conica e il punto F è detto fuoco della conica.

Il rapporto e è detto eccentricità della conica; il prodotto p=ef è detto parametro della conica.

figura1


2. Equazione polare

Per descrivere analiticamente una conica di eccentricità e e parametro p si può scegliere un sistema di riferimento polare con polo in F e semiasse polare dato dalla semiretta con origine in F, perpendicolare a d e orientata verso la parte opposta a d.
La retta contenente il semiasse polare è detta asse polare.
In tale sistema ad ogni punto P del piano è associata biunivocamente una coppia di numeri reali (ρ;θ), detti rispettivamente modulo e anomalia di P, tali che

Eqn1.gif

dove X rappresenta un punto della semiretta polare KF successivo ad F e l'angolo θ è orientato in senso antiorario, misurato in radianti e compreso nel primo giro.

In questo sistema di riferimento la (1.1) diventa

Eqn2.gif

da cui

Eqn3.gif

e, indicando il prodotto ef con p,

Eqn4.gif

e quindi

Eqn5.gif

Questa è l'equazione polare di una conica di parametro p ed eccentricità e.

Poiché il coseno è una funzione pari, cioè assume lo stesso valore per argomenti opposti, la (2.3) esplicita una importante caratteristica di tutte le coniche: sono simmetriche rispetto all'asse polare.

Dalla (2.3) si deduce che, quando θ è un angolo retto, ρ coincide con p; questa osservazione permette di interpretare geometricamente il parametro p: p coincide con la distanza dal fuoco dei due punti della conica di anomalie rispettivamente Eqn6.gif.

Dalla (2.3) si deduce inoltre che 1-e cosθ deve essere positivo

Eqn007.gif

Nell'ultimo caso, le semirette formate dai punti di anomalie Eqn009.gif sono dette asintoti della conica.

 


3. Equazione cartesiana nel sistema xFy

Volendo ottenere l'equazione della conica in coordinate cartesiane, si può scegliere come sistema di riferimento un sistema xFy con origine nel fuoco F, con l'asse delle ascisse coincidente con l'asse polare e con l'asse delle ordinate perpendicolare all'asse polare per F.

In tale sistema di riferimento si ha

Eqn1.gif

Dalla prima delle (3.1) si ricava

Eqn2.gif

e, elevando al quadrato entrambi i membri della (3.1),

Eqn3.gif

Sostituendo la (3.2) nella (3.3) ed eseguendo le naturali semplificazioni si ottiene

Eqn4.gif

Va notato che la (3.4), ottenuta elevando al quadrato entrambi i membri della (3.1), è suvvalente a quest'ultima e quindi il luogo descritto dalla (3.1) è un sottinsieme del luogo descritto dalla (3.4). Usualmente la denominazione di conica si estende ai luoghi descritti dalla (3.4).

 


4. Tangenti ad una conica per un suo punto (regola di sdoppiamento)

La (3.4) può essere scritta

Eqn1.gif

Si dimostra che, se P(xP,yP) è un punto della conica, allora l'equazione della retta tangente alla conica nel punto P è

Eqn2.gif

cioè l'equazione della tangente può essere ricavata direttamente da quella della conica:

 


5. Circonferenza

Se l'eccentricità e è nulla, la (2.3) diventa semplicemente

Eqn1.gif

cioè la conica è il luogo dei punti di modulo costante, vale a dire il luogo dei punti che hanno ugual distanza dal polo F. La conica è quindi la circonferenza di centro F e raggio p.

Volendo ottenere l'equazione della circonferenza in coordinate cartesiane ortogonali, ponendo e=0 nella (3.4) si ottiene

Eqn2.gif

Se si assume un sistema di riferimento cartesiano un sistema XΩY, con assi paralleli a quelli del sistema sopra indicato e con origine in Ω(;), le relazioni tra le coordinate dei due sistemi sono espresse da

Eqn003.gif

Nel nuovo sistema di riferimento le coordinate del centro sono α e β e la (5.2) diventa

Eqn004.gif

In generale, ogni equazione di forma equivalente alla (5.3) è l'equazione cartesiana di una circonferenza con centro C(α;β) e raggio ρ.

Indicando con x e y le variabili, la (5.3) diventa

Eqn005.gif

Sviluppando i quadrati dei binomi si ottiene

Eqn006.gif

Eqn007.gif

Introducendo i parametri

Eqn008.gif

la (5.5) assume forma

Eqn009.gif

Le equazioni di questa forma rappresentano quindi una circonferenza con centro C(α;β)

Eqn010.gif

e raggio ρ

Eqn011.gif

Se il radicando a2+b2-4c non è positivo, la circonferenza non è reale.

Circonferenza per tre punti.

 


6. Parabola

Se l'eccentricità e è uguale a 1, la conica è il luogo dei punti equidistanti da fuoco e direttrice e, usando una nomenclatura introdotta da Apollonio di Perga, è detta parabola.

In questo caso p coincide con f e la (2.3) diventa

Eqn1.gif

Poiché il denominatore del secondo membro non si può annullare, è immediato dedurre che una parabola non ha punti di anomalia nulla e che quando l'anomalia di un punto della parabola tende a 0 o a 2π la distanza del punto dal fuoco tende all'infinito.

La distanza di un punto dal fuoco è minima quando θ è uguale a π, caso in cui tale distanza è la metà di f.
Il punto V più vicino al fuoco è detto vertice della parabola e si trova sull'asse polare nel punto medio del segmento FK.

L'equazione della parabola in coordinate cartesiane ortogonali nel sistema xFy si ottiene immediatamente dalla (3.4) con e=1:

Eqn2.gif

Se si assoggetta la (6.2) alla traslazione

Eqn3.gif

che sposta l'origine del sistema di riferimento da F a V, si ottiene

Eqn4.gif

Esprimendo x in funzione di y

Eqn5.gif

In generale si potrà dire che ogni equazione

Eqn6.gif

rappresenta una parabola simmetrica rispetto all'asse delle ascisse con vertice nell'origine e fuoco e direttrice dati da

Eqn7.gif

Se, come si è fatto per la circonferenza, si assume un sistema di riferimento cartesiano un sistema XΩY, con assi paralleli a quelli del sistema sopra indicato e con origine in Ω(;), le relazioni tra le coordinate dei due sistemi sono espresse da

Eqn003.gif

Nel nuovo sistema di riferimento le coordinate del vertice sono α e β e la (6.5) diventa

Eqn010.gif

Viceversa, ogni equazione di forma

Eqn011.gif

rappresenta l'equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse e vertice V(α ; β) tale che

Eqn012.gif

cioè

Eqn013.gif

Analogamente, ogni equazione

Eqn8.gif

rappresenta una parabola simmetrica rispetto all'asse delle ordinate con vertice nell'origine e fuoco e direttrice dati da

Eqn9.gif

e ogni equazione di forma

Eqn014.gif

rappresenta l'equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle delle ordinate e vertice V(α ; β) tale che

Eqn015.gif

Parabola per tre punti.

Approfondimento: Area del segmento parabolico

Approfondimento: Proprietà ottica del fuoco

 


7. Ellisse

Se l'eccentricità e della conica è compresa tra 0 e 1.la conica è detta ellisse.

In questo caso il denominatore della (2.3) è sempre positivo e tutti i punti dell'ellisse hanno distanza finita dal fuoco.

In particolare: il punto V' con distanza minima dal è quello di anomalia θ=π che dista dal fuoco

Eqn1.gif

Il punto V'' di distanza massima è quello di anomalia θ=0 che dista dal fuoco

Eqn2.gif

Questi due punti sono detti vertici dell'ellisse e sono ovviamente situati sull'asse polare su cui è situato anche F.

Nel sistema xFy le ascisse dei vertici si ottengono ponendo y=0 nell'equazione (3.4)

Eqn3.gif

Eqn4.gif

Il segmento V''V' è detto asse focale dell'ellisse e la sua misura risulta

Eqn5.gif

Indicando con a la misura del semiasse focale, si ha

Eqn6.gif

Un'equazione cartesiana dell'ellisse alternativa rispetto alla (3.4) può essere ottenuta scegliendo come origine O il punto medio del segmento V"V', mantenendo come asse delle ascisse l'asse polare e come asse delle ordinate la perpendicolare all'asse delle ascisse per l'origine. Questo sistema di riferimento è detto sistema canonico.

L'ascissa del punto medio di V''V' è

Eqn7.gif

da cui

Eqn8.gif

e quindi, usando la (7.4), dalla (7.2) si ottiene

Eqn9.gif

La traslazione nel nuovo sistema di riferimento è

Eqn10.gif

Traslando la (3.4) si ottiene

Eqn11.gif

Eqn12.gif

Ponendo

Eqn13.gif

si ha

Eqn14.gif

e infine

Eqn15.gif

La (7.7) è detta equazione canonica dell'ellisse.

Dato che l'equazione della curva dipende solo dai quadrati delle variabili essa risulta simmetrica sia rispetto all'asse delle ascisse sia rispetto all'asse delle ordinate sia rispetto all'origine. Per x=0 si ha y = ± b. Il parametro b rappresenta quindi la misura del semiasse minore.

La simmetria della curva implica che, oltre al fuoco usato come polo nella (2.3), di ascissa -c, la curva ammette un altro fuoco ad esso simmetrico di ascissa +c.

L'equazione (7.6) implica a>b. Nel caso che in un'equazione di forma (7.7) si abbia a<b, l'equazione rappresenta un'ellisse in cui l'asse focale coincide con l'asse delle ordinate e le distanze |c| dei fuochi dall'origine, centro dell'ellisse, sono date da

Eqn016.gif

Si dimostra che per qualunque punto dell'ellisse la somma delle sue distanze dai fuochi è uguale alla misura dell'asse maggiore, cioè 2a.

Se si assume un sistema di riferimento con origine in Ω(;) e assi paralleli ed equiversi a quelli del sistema canonico l'equazione dell'ellisse diventa

Eqn017.gif

Ellisse per 4 punti

Costruzione dell'ellisse dati i semiassi a e b. Area delle'ellisse. Area del segmento ellittico.

 


8. Iperbole

Se l'eccentricità e della conica è maggiore di 1, la conica è detta iperbole.

Poiché ρ è intrinsecamente positivo anche il denominatore della (2.3) deve essere positivo: quindi sono ammissibili solo punti per i quali

Eqn1.gif

cioè

Eqn2.gif

Quando θ si avvicina agli estremi di questo intervallo la distanza ρ del punto dal fuoco tende all'infinito, quindi le iperboli, come le parabole e a differenza delle circonferenze e delle ellissi, sono curve che non si chiudono.

Il punto V' di distanza minima è quello di anomalia θ=π che dista dal fuoco

Eqn3.gif

Questo punto è detto vertice dell'iperbole ed è ovviamente situato sull'asse polare su cui è situato anche F.

Tuttavia la (3.4), che è suvvalente alla (2.3), per y=0, fornisce le ascisse (7.1) che, per evidenziare che, con e>1, sono entrambe negative e per esplicitare il loro ordinamento, si riscrivono

Eqn4.gif

Denominando V'' il punto di ascissa minore (vertice secondario), il segmento V''V' è detto asse reale dell'iperbole e la sua misura risulta

Eqn5.gif

Indicando con a la metà di questa distanza si ha

Eqn6.gif

Come si è fatto per l'ellisse, una equazione per l'iperbole alternativa alla (3.4) può essere ottenuta traslando l'origine del sistema di riferimento da F a O, punto medio dell'asse reale.
L'ascissa di tale punto medio, nel sistema xFy, è

Eqn7.gif

e quindi

Eqn8.gif

Usando la (8.4) dalla (8.2) si ottiene

Eqn9.gif

La traslazione nel nuovo sistema di riferimento è

Eqn10.gif

Traslando la (3.4) si ottiene

Eqn11.gif

Eqn12.gif

Ponendo

Eqn13.gif

si ha

Eqn14.gif

e infine

Eqn15.gif

La (8.7) è detta equazione canonica dell'iperbole.

Questa equazione è più generale della (2.3) perché è stata ottenuta uguagliando due espressioni del quadrato del modulo ρ. Dato che l'equazione della curva dipende solo dai quadrati delle variabili essa risulta simmetrica sia rispetto all'asse delle ascisse sia rispetto all'asse delle ordinate sia rispetto all'origine.
La simmetria della curva implica che, oltre al fuoco usato come polo, di ascissa c, la curva ammette un altro fuoco ad esso simmetrico di ascissa -c.

Scrivendo la (8.6) nella seguente forma

Eqn16.gif

si osserva che la curva non ammette punti reali nella regione (-a<x<a). La curva è formata da due rami separati.

Si osserva inoltre che per x di valore assoluto crescente la curva tende ad assimilarsi alla coppia di rette

Eqn17.gif

passanti per l'origine e di coefficienti angolari

Eqn18.gif

dette asintoti dell'iperbole

L'equazione (8.7) implica che l'asse reale dell'iperbole coincide con l'asse delle ascisse. Equazioni di forma

Eqn019.gif

rappresentano iperboli con fuochi sull'asse delle ordinate.

Si dimostra che per qualunque punto dell'iperbole il modulo della differenza delle sue distanze dai fuochi è uguale alla misura dell'asse maggiore, cioè 2a.

Area del segmento iperbolico retto

Costruzione dell'iperbole dati i semiassi a e b

 


ultima revisione: 10/06/2016